Chapter 5: Permutations and Combinations
If one operation can be performed in \(m\) ways and, for each of these, a second operation can be performed in \(n\) ways, then the two operations can be performed together in \(m \times n\) ways.
Example: If there are 6 roads from A to B and 4 roads from B to C, then the number of ways to go from A to C through B is:
\[ 6 \times 4 = 24 \]If two operations are mutually exclusive (cannot both occur), and the first can be performed in \(m\) ways and the second in \(n\) ways, then the number of ways to perform one of the operations is \(m + n\).
Example: To form numbers with 2 or 3 digits from 5 distinct digits:
\[ {}^5P_2 + {}^5P_3 = 20 + 60 = 80 \]A permutation is an arrangement of objects in a specific order. The number of permutations of \(n\) distinct objects taken \(r\) at a time is:
\[ {}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!} = n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1) \]- \({}^nP_n = n!\) (arranging all \(n\) objects)
- \({}^nP_0 = 1\)
- \({}^nP_1 = n\)
- The number of ways to select a president, treasurer, and secretary from 15 people: \[ {}^{15}P_3 = 15 \times 14 \times 13 = 2730 \]
- Arranging the letters of the word PENCIL: \[ {}^6P_6 = 6! = 720 \]
When certain objects must be together, treat them as a single unit. When certain objects must not be together, find total arrangements and subtract those where they are together.
Example: In how many ways can the 6 letters of SUNDAY be arranged if the two vowels (U, A) must be together?
\[ 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 \]If there are \(n\) objects, with \(p\) of one kind, \(q\) of another kind, \(r\) of another kind, etc., then the number of distinct permutations is:
\[ \frac{n!}{p! \cdot q! \cdot r! \cdots} \]Example: Arrangements of the word EXCELLENCE (4 E's, 2 C's, 2 L's):
\[ \frac{10!}{4! \cdot 2! \cdot 2!} = 37800 \]A combination is a selection of objects where order does not matter. The number of combinations of \(n\) distinct objects taken \(r\) at a time is:
\[ {}^nC_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]- \({}^nC_0 = {}^nC_n = 1\)
- \({}^nC_1 = n\)
- \({}^nC_r = {}^nC_{n-r}\) (symmetry property)
- Selecting a committee of 4 from 10 people: \[ {}^{10}C_4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \]
- Selecting 3 cars of the same color from 4 black and 7 white cars: \[ {}^4C_3 + {}^7C_3 = 4 + 35 = 39 \]
For "at most" problems, sum the combinations for each possible number. For "at least" problems, subtract the unwanted cases from the total.
Example: Subsets of a 9-element set with at most 2 elements:
\[ {}^9C_0 + {}^9C_1 + {}^9C_2 = 1 + 9 + 36 = 46 \]Subsets with at least 3 elements:
\[ 2^9 - 46 = 512 - 46 = 466 \]When certain objects must be in fixed positions, arrange the remaining objects around them.
Example: Arranging 6 books with a dictionary at one end:
\[ 2 \times 5! = 2 \times 120 = 240 \]When objects of the same type must be together, group them as a single unit, then arrange the groups and the internal elements.
Example: Arranging 2 Chemistry, 4 Mathematics, and 3 Physics books with same subjects together:
\[ 3! \times 2! \times 4! \times 3! = 6 \times 2 \times 24 \times 6 = 1728 \]Count the total arrangements and subtract those that violate the condition.
Example: Permutations of PROGRAM not ending in 2R's:
\[ \frac{7!}{2!} - 5! = 2520 - 120 = 2400 \]When multiple restrictions apply, break the problem into mutually exclusive cases and sum the results.
Example: 4-digit even numbers greater than 4000 from digits 1–5:
- Case 1: First digit 4, last digit 2: \(1 \times 3 \times 2 \times 1 = 6\)
- Case 2: First digit 5, last digit 2 or 4: \(1 \times 3 \times 2 \times 2 = 12\)
- Total: \(6 + 12 = 18\)
For problems requiring a fixed number of objects between two identical objects, identify possible positions for the pair.
Example: Permutations of INTERNET with exactly 4 letters between the two T's:
\[ 3 \times \frac{6!}{2! \cdot 2!} = 3 \times 180 = 540 \]| Concept | Formula |
|---|---|
| Permutation (distinct objects) | \({}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) |
| Combination | \({}^nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}\) |
| Permutation with repetition | \(\dfrac{n!}{p! \cdot q! \cdot r! \cdots}\) |
| Total subsets of an \(n\)-element set | \(2^n\) |
ဥပမာ ၁။ (Example 1) #ch5eg1mm
မြို့ A နှင့် မြို့ B အကြားတွင် လမ်း ၆ လမ်း ရှိပြီး၊ မြို့ B နှင့် မြို့ C အကြားတွင် လမ်း ၄ လမ်း ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ လူတစ်ယောက်သည် မြို့ B ကို ဖြတ်၍ မြို့ A မှ မြို့ C သို့ မောင်းနှင်နိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက်ကို ရှာပါ။
မြို့ A မှ မြို့ B သို့ မောင်းနှင်နိုင်သော နည်းလမ်း ၆ နည်း ရှိပါသည်။ ထိုနည်းလမ်းတစ်ခုချင်းစီအတွက် မြို့ B မှ မြို့ C သို့ မောင်းနှင်နိုင်သော နည်းလမ်း ၄ နည်းစီ ရှိပါသည်။
ထို့ကြောင့် မြို့ B ကို ဖြတ်၍ မြို့ A မှ မြို့ C သို့ မောင်းနှင်နိုင်သော စုစုပေါင်း နည်းလမ်းအရေအတွက်မှာ \(6 \times 4 = 24\) နည်း ဖြစ်ပါသည်။
ဥပမာ ၂။ (Example 2) #ch5eg2mm
သွေးအမျိုးအစား လေးမျိုးရှိပြီး ၎င်းတို့မှာ A, B, AB နှင့် O တို့ ဖြစ်ကြသည်။ သွေးကို RH(+ve) သို့မဟုတ် RH(−ve) ဟူ၍လည်း ခွဲခြားနိုင်သည်။ သွေးအလှူရှင်တစ်ဦးကို အမျိုးသား သို့မဟုတ် အမျိုးသမီးအဖြစ် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ သွေးအလှူရှင်တစ်ဦး၏ သွေးနမူနာကို အညွှန်းတပ်နိုင်သော မတူညီသည့် ဖြစ်နိုင်ခြေနည်းလမ်း အရေအတွက် မည်မျှရှိသနည်း။
ဤပုစ္ဆာတွင် ရွေးချယ်စရာ အဆင့် ၃ ဆင့် ရှိပါသည် -
- သွေးအမျိုးအစားအတွက် ဖြစ်နိုင်ခြေ ၄ မျိုး (A, B, AB, O) ရှိသည်။
- RH factor အတွက် ဖြစ်နိုင်ခြေ ၂ မျိုး (RH+ သို့မဟုတ် RH−) ရှိသည်။
- အလှူရှင်၏ ကျား/မ ကျားမခွဲခြားမှုအတွက် ဖြစ်နိုင်ခြေ ၂ မျိုး (အမျိုးသား သို့မဟုတ် အမျိုးသမီး) ရှိသည်။
ထို့ကြောင့် ရေတွက်ခြင်းဆိုင်ရာ အခြေခံစည်းမျဉ်းအရ သွေးနမူနာကို အညွှန်းတပ်နိုင်သော စုစုပေါင်း ဖြစ်နိုင်ခြေနည်းလမ်း အရေအတွက်မှာ \(4 \times 2 \times 2 = 16\) နည်း ဖြစ်ပါသည်။
ဥပမာ ၃။ (Example 3) #ch5eg3mm
နံရံတစ်ခုပေါ်တွင် ဓာတ်ပုံချိတ်ရန် သံမှို ၃ ချောင်း ရှိသည်။ အကယ်၍ မတူညီသော ဓာတ်ပုံ ၅ ပုံ ရှိပြီး သံမှိုတစ်ချောင်းလျှင် ဓာတ်ပုံတစ်ပုံသာ ချိတ်ဆွဲနိုင်ပါက သံမှိုအားလုံးပေါ်တွင် ဓာတ်ပုံများကို မတူညီသော နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှဖြင့် ချိတ်ဆွဲနိုင်သနည်း။
ပထမသံမှိုအတွက် ရှိသမျှ ဓာတ်ပုံ ၅ ပုံထဲမှ ကြိုက်နှစ်သက်ရာ တစ်ပုံကို ရွေးချယ်နိုင်ပြီး၊ ဒုတိယသံမှိုအတွက် ကျန်ရှိသော ဓာတ်ပုံ ၄ ပုံထဲမှ ကြိုက်နှစ်သက်ရာ တစ်ပုံကို ရွေးချယ်နိုင်ကာ၊ နောက်ဆုံး တတိယသံမှိုအတွက် ကျန်ရှိသော ဓာတ်ပုံ ၃ ပုံထဲမှ ကြိုက်နှစ်သက်ရာ တစ်ပုံကို ရွေးချယ်နိုင်ပါသည်။
သံမှိုတစ်ချောင်းစီအတွက် ဓာတ်ပုံများ ရွေးချယ်နိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက်မှာ အသီးသီး ၅ နည်း၊ ၄ နည်း နှင့် ၃ နည်း ဖြစ်ကြသည်။
ထို့ကြောင့် ရေတွက်ခြင်းဆိုင်ရာ အခြေခံစည်းမျဉ်းအရ ဓာတ်ပုံများကို ချိတ်ဆွဲနိုင်သော စုစုပေါင်း နည်းလမ်းအရေအတွက်မှာ \(5 \times 4 \times 3 = 60\) နည်း ဖြစ်ပါသည်။
ဥပမာ ၄။ (Example 4) #ch5eg4mm
မေးခွန်း။ \(3, 5, 6, 8\) နှင့် \(9\) ဂဏန်းများကို အသုံးပြု၍ ဂဏန်းများထပ်ခြင်းမရှိဘဲ ဂဏန်း \(2\) လုံးပါ သို့မဟုတ် \(3\) လုံးပါသော မတူညီသည့် ကိန်းဂဏန်း အရေအတွက် မည်မျှ ပြုလုပ်နိုင်သနည်း။
ပေးထားသော ဂဏန်းများမှာ \(3, 5, 6, 8, 9\) ဖြစ်သောကြောင့် စုစုပေါင်း ဂဏန်းအရေအတွက် \(n = 5\) ဖြစ်သည်။
ဂဏန်းမထပ်ရ (Without repetition) ဟု ဆိုထားသောကြောင့် Permutation (\(P\)) ပုံသေနည်းကို အသုံးပြုရမည်။
မေးခွန်းအရ ဖြစ်နိုင်ခြေ \(2\) မျိုး ရှိနိုင်ပါသည်။
- ဂဏန်း \(2\) လုံးပါသော ကိန်းဂဏန်းများ ဖွဲ့စည်းခြင်း။
ဂဏန်း \(5\) လုံးထဲမှ \(2\) လုံးကို ရွေးချယ်နေရာချရမည်ဖြစ်သောကြောင့် \(r = 2\) ဖြစ်သည်။ \[ P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \times 4 = 20 \] - ဂဏန်း \(3\) လုံးပါသော ကိန်းဂဏန်းများ ဖွဲ့စည်းခြင်း။
ဂဏန်း \(5\) လုံးထဲမှ \(3\) လုံးကို ရွေးချယ်နေရာချရမည်ဖြစ်သောကြောင့် \(r = 3\) ဖြစ်သည်။ \[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \]
စုစုပေါင်း ဖြစ်နိုင်ခြေ အရေအတွက် (Total Number of Ways):
ဂဏန်း \(2\) လုံးပါသော ကိန်းဂဏန်းများ သို့မဟုတ် ဂဏန်း \(3\) လုံးပါသော ကိန်းဂဏန်းများ (တစ်ခုမဟုတ်တစ်ခု) ဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ပေါင်းခြင်းနိယာမ (Addition Principle) အရ ရလဒ်နှစ်ခုကို ပေါင်းရပါမည်။
အဖြေ။ ဂဏန်းမထပ်ဘဲ ဖွဲ့စည်းနိုင်သော မတူညီသည့် ကိန်းဂဏန်း အရေအတွက်မှာ \(80\) ဖြစ်သည်။
ဥပမာ ၅။ (Example 5) #ch5eg5mm
မေးခွန်း။ \(0\) နှင့် \(100\) ကြားတွင် ဂဏန်း \(5\) တစ်ကြိမ်သာပါသော ကိန်းပြည့် (integers) အရေအတွက် မည်မျှရှိသနည်း။
\(0\) နှင့် \(100\) ကြားရှိ ကိန်းပြည့်များကို ဂဏန်းနေရာအလိုက် အုပ်စုနှစ်စုခွဲ၍ စဉ်းစားနိုင်ပါသည်။ ဂဏန်း \(5\) သည် တစ်ကြိမ်တည်းသာ ပါရမည် ဖြစ်သည်။
- ဂဏန်း ၁ လုံးပါသော ကိန်းများ (Single-digit numbers): \(0 \lt \text{ကိန်း} \lt 10\)
\(0\) မှ \(9\) အတွင်း ဂဏန်း \(5\) တစ်ကြိမ်သာပါသော ကိန်းမှာ \(5\) တစ်လုံးတည်းသာ ရှိသည်။
ထို့ကြောင့် ဖြစ်နိုင်ခြေ အရေအတွက် = \(1\) ခု。 - ဂဏန်း ၂ လုံးပါသော ကိန်းများ (Double-digit numbers): \(10 \le \text{ကိန်း} \lt 100\)
ဂဏန်း ၂ လုံးပါသော ကိန်းများကို ဆယ်ဂဏန်းနေရာ (Tens place) နှင့် ခုဂဏန်းနေရာ (Ones place) ဟု နေရာ ၂ ခု ခွဲခြားစဉ်းစားပါမည်။- ဖြစ်နိုင်ခြေ (က) - ဂဏန်း \(5\) သည် ခုဂဏန်းနေရာတွင် ရှိနေခြင်း (\(\_ \, 5\)):
ခုဂဏန်းနေရာအတွက် ရွေးချယ်စရာမှာ \(5\) တစ်လုံးတည်း ဖြစ်၍ \(1\) နည်း ရှိသည်။
ဆယ်ဂဏန်းနေရာတွင် \(0\) ဖြစ်၍မရပါ (ဂဏန်း ၂ လုံးကိန်း ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့်)၊ ထို့ပြင် ဂဏန်း \(5\) တစ်ကြိမ်သာ ပါရမည်ဖြစ်၍ \(5\) လည်း ဖြစ်၍မရပါ။
ထို့ကြောင့် ဆယ်ဂဏန်းနေရာအတွက် ရွေးချယ်စရာမှာ \(\{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}\) ဖြစ်ပြီး စုစုပေါင်း \(8\) နည်း ရှိသည်။
\(\therefore\) ဤအုပ်စုတွင် ရှိသော ကိန်းအရေအတွက် = \(8 \times 1 = 8\) ခု။
(၎င်းကိန်းများမှာ: \(15, 25, 35, 45, 65, 75, 85, 95\) ဖြစ်သည်) - ဖြစ်နိုင်ခြေ (ခ) - ဂဏန်း \(5\) သည် ဆယ်ဂဏန်းနေရာတွင် ရှိနေခြင်း (\(5 \, \_\)):
ဆယ်ဂဏန်းနေရာအတွက် ရွေးချယ်စရာမှာ \(5\) တစ်လုံးတည်း ဖြစ်၍ \(1\) နည်း ရှိသည်။
ခုဂဏန်းနေရာတွင် ဂဏန်း \(5\) တစ်ကြိမ်သာ ပါရမည်ဖြစ်၍ \(5\) ဖြစ်၍မရပါ။ သို့သော် \(0\) အပါအဝင် ကျန်ဂဏန်းများ ဖြစ်နိုင်သောကြောင့် ရွေးချယ်စရာမှာ \(\{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}\) ဖြစ်ပြီး စုစုပေါင်း \(9\) နည်း ရှိသည်။
\(\therefore\) ဤအုပ်စုတွင် ရှိသော ကိန်းအရေအတွက် = \(1 \times 9 = 9\) ခု။
(၎င်းကိန်းများမှာ: \(50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58, 59\) ဖြစ်သည်)
- ဖြစ်နိုင်ခြေ (က) - ဂဏန်း \(5\) သည် ခုဂဏန်းနေရာတွင် ရှိနေခြင်း (\(\_ \, 5\)):
စုစုပေါင်း အရေအတွက်ကို တွက်ချက်ခြင်း (Total Count):
ပေါင်းခြင်းနိယာမ (Addition Principle) အရ အထက်ပါ ဖြစ်နိုင်ခြေအားလုံးကို ပေါင်းရပါမည်။
အဖြေ။ \(0\) နှင့် \(100\) ကြားတွင် ဂဏန်း \(5\) တစ်ကြိမ်သာပါသော ကိန်းပြည့်ပေါင်း \(18\) ခု ရှိသည်။
ဥပမာ ၆။ (Example 6) #ch5eg6mm
မေးခွန်း။ တန်ဖိုးရှာပါ (Evaluate):
(a) \(\dfrac{7!}{4! \cdot 3!}\) (b) \(\dfrac{6! + 5! - 4!}{4!}\)
Factorial (\(!\)) ၏ သဘောတရားအရ \(n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1\) ဖြစ်သည်။
ပိုင်းခြေတွင် အကြီးဆုံး Factorial ဖြစ်သော \(4!\) ရှိသဖြင့် ပိုင်းဝေရှိ \(7!\) ကို \(4!\) ရောက်သည်အထိ ဖြန့်ရည်ပါမည်။
\(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4!\) ၊ \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
အဖြေ (a): \(35\)
\(6! = 6 \times 5 \times 4! = 30 \times 4!\) ၊ \(5! = 5 \times 4!\)
\[ \dfrac{6! + 5! - 4!}{4!} = \dfrac{30 \cdot 4! + 5 \cdot 4! - 1 \cdot 4!}{4!} = \dfrac{(30+5-1) \cdot 4!}{4!} = 34 \]အဖြေ (b): \(34\)
ဥပမာ ၇။ (Example 7) #ch5eg7mm
မေးခွန်း။ \(\dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2}\) ကို Factorial ပုံစံဖြင့် ဖော်ပြပါ။
Factorial ပုံစံသို့ ပြောင်းလဲရန် ပိုင်းဝေ (Numerator) တွင် \(13\) မှစ၍ \(1\) အထိ မြှောက်ထားသော ပုံစံမျိုး ဖြစ်လာအောင် ဖြည့်စွက်ပေးရပါမည်။
\[ \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2} = \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 10!} = \dfrac{13!}{3! \cdot 10!} \]အဖြေ။ \(\dfrac{13!}{10! \cdot 3!}\)
ဥပမာ ၈။ (Example 8) #ch5eg8mm
မေးခွန်း။ \(^{10}P_{5} + {}^{10}P_{0}\) ၏ တန်ဖိုးကို ရှာပါ။
Permutation ပုံသေနည်းအရ \(^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) ဖြစ်သည်။
- \(^{10}P_{5} = \dfrac{10!}{(10-5)!} = \dfrac{10!}{5!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240\)
- \(^{10}P_{0} = \dfrac{10!}{(10-0)!} = \dfrac{10!}{10!} = 1\)
\(^{10}P_{5} + {}^{10}P_{0} = 30240 + 1 = 30241\)
အဖြေ။ \(30241\)
ဥပမာ ၉။ (Example 9) #ch5eg9mm
မေးခွန်း။ \(n\) ၏ တန်ဖိုးကို ရှာရန် ညီမျှခြင်းများကို ရှင်းပါ။
(a) \({}^nP_2 = 9n\) (b) \({}^nP_3 = 12 \cdot {}^nP_2\)
Permutation ၏ ဖြန့်နည်းအရ \({}^nP_r = n(n-1)\cdots(n-r+1)\) ဖြစ်သည်။
\({}^nP_2 = n(n-1)\) ဟု ဖြန့်နိုင်သဖြင့် —
\(n(n-1) = 9n\) \(\Rightarrow\) \(n-1 = 9\) \(\Rightarrow\) \(n = 10\)
အဖြေ (a): \(n = 10\)
\({}^nP_3 = n(n-1)(n-2)\) နှင့် \({}^nP_2 = n(n-1)\) ဖြစ်သောကြောင့် —
\(n(n-1)(n-2) = 12 \cdot n(n-1)\) \(\Rightarrow\) \(n-2 = 12\) \(\Rightarrow\) \(n = 14\)
အဖြေ (b): \(n = 14\)
ဥပမာ ၁၀။ (Example 10) #ch5eg10mm
မေးခွန်း။ လူ ၁၅ ယောက်ရှိသော အဖွဲ့တစ်ခုမှ ဥက္ကဋ္ဌ (president)၊ ဘဏ္ဍာရေးမှူး (treasurer) နှင့် အတွင်းရေးမှူး (secretary) တို့ကို မတူညီသော နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်သနည်း။
ဤပုစ္ဆာတွင် လူ ၁၅ ယောက်ထဲမှ ရာထူး ၃ ခုအတွက် လူ ၃ ယောက်ကို ရွေးချယ်ရမည် ဖြစ်သည်။ ရာထူးများသည် ကွဲပြားသောကြောင့် Permutation ကို အသုံးပြုရပါမည်။
\({}^{15}P_3 = 15 \times 14 \times 13 = 2730\)
အဖြေ။ နည်းလမ်းပေါင်း \(2730\) ဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်ပါသည်။
ဥပမာ ၁၁။ (Example 11) #ch5eg11mm
မေးခွန်း။ PENCIL ဟူသော စကားလုံးတွင် ပါဝင်သည့် အက္ခရာအားလုံးကို အက္ခရာများ ထပ်ခြင်းမရှိဘဲ နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှဖြင့် စီစဉ်နိုင်သနည်း။
PENCIL တွင် မတူညီသော အက္ခရာ ၆ လုံး ရှိသည်။ အားလုံးကို စီစဉ်ခြင်းသည် \(6!\) နည်း ဖြစ်သည်။
\(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\)
အဖြေ။ နည်းလမ်းပေါင်း \(720\) ဖြင့် စီစဉ်နိုင်ပါသည်။
ဥပမာ ၁၂။ (Example 12) #ch5eg12mm
မေးခွန်း။ ဘတ်စ်ကား ၂ စီးတွင် လွတ်နေသော ထိုင်ခုံ ၅ ခုံနှင့် ၄ ခုံစီ အသီးသီး ရှိကြသည်။ ကားမှတ်တိုင်တစ်ခုတွင် လူ ၄ ယောက် ရှိနေသည်။ ၎င်းလူအားလုံးကို ဘတ်စ်ကား နှစ်စီးစလုံးတွင် မဟုတ်ဘဲ တစ်စီးတည်းတွင်သာ နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှဖြင့် နေရာချပေးနိုင်သနည်း။
"either of the buses, but not both" ဟု ဆိုထားသဖြင့် လူ ၄ ယောက်စလုံးသည် ပထမကား (သို့မဟုတ်) ဒုတိယကား၊ တစ်စီးတည်းပေါ်သို့သာ တက်ရမည်။
- ပထမကား (ခုံ ၅ လွတ်) တွင် ထိုင်နည်း: \({}^{5}P_{4} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120\)
- ဒုတိယကား (ခုံ ၄ လွတ်) တွင် ထိုင်နည်း: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
စုစုပေါင်း \(120 + 24 = 144\)
အဖြေ။ နည်းလမ်းပေါင်း \(144\) ဖြင့် နေရာချပေးနိုင်ပါသည်။
ဥပမာ ၁၃။ (Example 13) #ch5eg13mm
မေးခွန်း။ မတူညီသော စာအုပ် ၆ အုပ်ကို စင်ပေါ်တွင် စာကြောင်းတစ်ကြောင်းအတိုင်း စီစဉ်ရမည်။ ၎င်းစာအုပ်များထဲတွင် အဘိဓာန် (dictionary) တစ်အုပ် ပါဝင်ပြီး ၎င်းသည် လိုင်း၏ အစွန်းတစ်ဖက်ဖက် (one end) တွင်သာ ရှိရမည်ဆိုပါက နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှဖြင့် စီစဉ်နိုင်သနည်း။
အဘိဓာန်စာအုပ်သည် ဘယ်ဘက်အစွန်း သို့မဟုတ် ညာဘက်အစွန်း နေရာယူနိုင်သောကြောင့် ၎င်းအတွက် ရွေးချယ်စရာ \(2\) နည်း ရှိသည်။
ကျန်စာအုပ် ၅ အုပ်ကို ကျန်နေရာ ၅ ခုတွင် စီစဉ်နည်း \(5! = 120\)
စုစုပေါင်း \(2 \times 5! = 2 \times 120 = 240\)
အဖြေ။ နည်းလမ်းပေါင်း \(240\) ဖြင့် စီစဉ်နိုင်ပါသည်။
ဥပမာ ၁၄။ (Example 14) #ch5eg14mm
မေးခွန်း။ လူ ၁၀ ယောက်ရှိသော အဖွဲ့တစ်ခုမှ ကော်မတီဝင် ၄ ယောက်ကို နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်သနည်း။
ဤပုစ္ဆာတွင် အစီအစဉ် အရေးမကြီးသောကြောင့် Combination ကို အသုံးပြုရပါမည်။
\[ {}^{10}C_4 = \dfrac{10!}{(10-4)! \cdot 4!} = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]အဖြေ။ နည်းလမ်းပေါင်း \(210\) ဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်ပါသည်။
ဥပမာ ၁၅။ (Example 15) #ch5eg15mm
မေးခွန်း။ တန်ဖိုးရှာပါ (Evaluate): ${}^{21}C_{1}$, ${}^{21}C_{21}$, ${}^{21}C_{19}$ and ${}^{21}C_{2}$.
Combination ၏ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပုံသေနည်းများကို အသုံးပြုပါမည်။
- \({}^{21}C_{1}\) ကို တွက်ချက်ခြင်း။
ဂုဏ်သတ္တိအရ \({}^nC_1 = n\) ဖြစ်သောကြောင့် — \[ {}^{21}C_{1} = 21 \] - \({}^{21}C_{21}\) ကို တွက်ချက်ခြင်း။
ဂုဏ်သတ္တိအရ \({}^nC_n = 1\) ဖြစ်သောကြောင့် — \[ {}^{21}C_{21} = 1 \] - \({}^{21}C_{19}\) ကို တွက်ချက်ခြင်း။
ဂုဏ်သတ္တိအရ \({}^nC_r = {}^nC_{n-r}\) ဖြစ်သဖြင့် \({}^{21}C_{19} = {}^{21}C_{21-19} = {}^{21}C_{2}\) ဖြစ်သည်။ \[ {}^{21}C_{2} = \dfrac{21 \times 20}{2 \times 1} = 21 \times 10 = 210 \] ထို့ကြောင့် \({}^{21}C_{19} = 210\) ဖြစ်သည်။ - \({}^{21}C_{2}\) ကို တွက်ချက်ခြင်း။
အထက်ပါအဆင့် (၃) အရ — \[ {}^{21}C_{2} = \dfrac{21 \times 20}{2 \times 1} = 210 \]
အဖြေစု။ \({}^{21}C_{1} = 21\), \({}^{21}C_{21} = 1\), \({}^{21}C_{19} = 210\), \({}^{21}C_{2} = 210\)
ဥပမာ ၁၆။ (Example 16) #ch5eg16mm
မေးခွန်း။ ဂီတသင်တန်းတစ်ခုတွင် ပီယာနိုတီးခတ်သူ ၅ ယောက်၊ ဂစ်တာတီးခတ်သူ ၇ ယောက်နှင့် ဗိုင်အိုလင်တီးခတ်သူ ၄ ယောက် ရှိသည်။ ကျောင်းဖျော်ဖြေပွဲတစ်ခုတွင် တီးခတ်ရန်အတွက် ပီယာနိုတီးခတ်သူ ၁ ယောက်၊ ဂစ်တာတီးခတ်သူ ၃ ယောက်နှင့် ဗိုင်အိုလင်တီးခတ်သူ ၂ ယောက် ပါဝင်သော တီးဝိုင်းတစ်ခုကို မည်မျှသော နည်းလမ်းပေါင်းဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်သနည်း။
ဤပုစ္ဆာတွင် တူရိယာအုပ်စုတစ်ခုစီမှ လိုအပ်သော လူဦးရေကို သီးခြားစီ ရွေးချယ်ရမည်ဖြစ်ပြီး ရွေးချယ်မှု အစီအစဉ်သည် အရေးမကြီးသောကြောင့် Combination (\(C\)) ပုံသေနည်းကို အသုံးပြုပါမည်။
- ပီယာနိုတီးခတ်သူ ရွေးချယ်ခြင်း။
၅ ယောက်ထဲမှ ၁ ယောက်ကို ရွေးချယ်ရန်နည်းလမ်း = \({}^5C_1 = 5\) နည်း - ဂစ်တာတီးခတ်သူ ရွေးချယ်ခြင်း။
၇ ယောက်ထဲမှ ၃ ယောက်ကို ရွေးချယ်ရန်နည်းလမ်း = \({}^7C_3 = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\) နည်း - ဗိုင်အိုလင်တီးခတ်သူ ရွေးချယ်ခြင်း။
၄ ယောက်ထဲမှ ၂ ယောက်ကို ရွေးချယ်ရန်နည်းလမ်း = \({}^4C_2 = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\) နည်း
စုစုပေါင်း နည်းလမ်း အရေအတွက် (Total Number of Ways):
တီးဝိုင်းတစ်ခု ဖြစ်မြောက်ရန်အတွက် ၎င်းရွေးချယ်မှုအားလုံး တစ်ပြိုင်နက် ပြီးမြောက်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် မြှောက်ခြင်းနိယာမ (Multiplication Principle) အရ —
အဖြေ။ နည်းလမ်းပေါင်း \(1050\) ဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်ပါသည်။
ဥပမာ ၁၇။ (Example 17) #ch5eg17mm
မေးခွန်း။ ကားအမည်း ၄ စီးနှင့် ကားအဖြူ ၇ စီး ရှိသည်ဆိုပါစို့။ ကားအားလုံးသည် မတူကွဲပြားခြားနားကြလျှင် (distinguishable)၊ အရောင်တူကား ၃ စီးကို နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်သနည်း။
"အရောင်တူကား ၃ စီး" ဟု ဆိုထားသဖြင့် ရွေးချယ်လိုက်သော ကား ၃ စီးစလုံးသည် အမည်းရောင်များ ဖြစ်နိုင်သလို၊ အဖြူရောင်များလည်း ဖြစ်နိုင်ပါသည်။ ထို့ကြောင့် ဖြစ်နိုင်ခြေ ၂ မျိုး ခွဲခြားစဉ်းစားရပါမည်။
- ဖြစ်နိုင်ခြေ (၁) - ကားအမည်း ၃ စီးလုံး ရွေးချယ်ခြင်း။
ကားအမည်း ၄ စီးထဲမှ ၃ စီးကို ရွေးချယ်ရန်နည်းလမ်း = \({}^4C_3 = {}^4C_1 = 4\) နည်း - ဖြစ်နိုင်ခြေ (၂) - ကားအဖြူ ၃ စီးလုံး ရွေးချယ်ခြင်း။
ကားအဖြူ ၇ စီးထဲမှ ၃ စီးကို ရွေးချယ်ရန်နည်းလမ်း = \({}^7C_3 = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\) နည်း
စုစုပေါင်း နည်းလမ်း အရေအတွက် (Total Number of Ways):
ဤဖြစ်ရပ်နှစ်ခုသည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အပြန်အလှန် ဖယ်ကြဉ်ပြီးသား ဖြစ်သောကြောင့် ပေါင်းခြင်းနိယာမ (Addition Principle) အရ —
အဖြေ။ နည်းလမ်းပေါင်း \(39\) ဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်ပါသည်။
ဥပမာ ၁၈။ (Example 18) #ch5eg18mm
မေးခွန်း။ မတူညီသော စာအုပ် ၆ အုပ် ရှိသည်။ အငယ်ဆုံးကလေးက စာအုပ် ၃ အုပ်၊ အလတ်ကလေးက ၁ အုပ်နှင့် အကြီးဆုံးကလေးက ၂ အုပ်စီ အသီးသီး ရရှိလိုကြလျှင် ၎င်းစာအုပ်များကို ကလေး ၃ ယောက်အား နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှဖြင့် ခွဲဝေပေးနိုင်သနည်း။
စာအုပ်များကို တစ်ဆင့်ချင်းစီ ခွဲဝေပေးရပါမည်။ တစ်ဦးကို ပေးပြီးတိုင်း ကျန်ရှိသော စာအုပ်အရေအတွက်မှ နောက်တစ်ဦးကို ဆက်လက်ရွေးချယ် ပေးရမည်ဖြစ်သည်။
- အငယ်ဆုံးကလေးကို စာအုပ် ၃ အုပ် ပေးခြင်း။
စာအုပ် ၆ အုပ်ထဲမှ ၃ အုပ်ကို ရွေးချယ်ပေးရမည် ဖြစ်သည်။ နည်းလမ်းပေါင်း \(= {}^6C_3 = \dfrac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \) - အလတ်ကလေးကို စာအုပ် ၁ အုပ် ပေးခြင်း။
အငယ်ဆုံးကလေးကို ၃ အုပ် ပေးပြီးနောက် စာအုပ် \(6 - 3 = 3\) အုပ် ကျန်ရှိမည်။ ၎င်းကျန်ရှိသော ၃ အုပ်ထဲမှ ၁ အုပ်ကို ရွေးချယ်ပေးရမည်။ နည်းလမ်းပေါင်း\( = {}^3C_1 = 3 \) - အကြီးဆုံးကလေးကို စာအုပ် ၂ အုပ် ပေးခြင်း။
အလတ်ကလေးကို ၁ အုပ် ပေးပြီးနောက် စာအုပ် \(3 - 1 = 2\) အုပ် ကျန်ရှိမည်။ ၎င်းကျန်ရှိသော ၂ အုပ်ထဲမှ ၂ အုပ်လုံးကို ပေးရမည်။ နည်းလမ်းပေါင်း \(= {}^2C_2 = 1 \)
စုစုပေါင်း နည်းလမ်း အရေအတွက် (Total Number of Ways):
စာအုပ်ခွဲဝေမှု လုပ်ငန်းစဉ်တစ်ခုလုံး ပြီးမြောက်ရန် အဆင့်အားလုံး ဆက်တိုက် ဖြစ်ပွားရမည် ဖြစ်သောကြောင့် မြှောက်ခြင်းနိယာမ (Multiplication Principle) အသုံးပြုရပါမည်။
အဖြေ။ နည်းလမ်းပေါင်း \(60\) ဖြင့် ခွဲဝေပေးနိုင်ပါသည်။
ဥပမာ ၁၉။ (Example 19) #ch5eg19mm
မေးခွန်း။ သစ်သီး ၉ လုံးထဲမှ ၄ လုံးကို အောက်ပါကန့်သတ်ချက်များအတိုင်း နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်သနည်း။
(a) အကြီးဆုံးသစ်သီး အမြဲတမ်းပါဝင်ရမည်။ (ထိုသို့သော အကြီးဆုံးသစ်သီး တစ်လုံးရှိသည်ဟု ယူဆပါ)
(b) အငယ်ဆုံးသစ်သီးကို အမြဲတမ်းဖယ်ထုတ်ရမည်။ (ထိုသို့သော အငယ်ဆုံးသစ်သီး တစ်လုံးရှိသည်ဟု ယူဆပါ)
စုစုပေါင်း သစ်သီးအရေအတွက် \(n = 9\), ရွေးချယ်ရမည့် အရေအတွက် \(r = 4\) ဖြစ်သည်။ စုဖွဲ့ရွေးချယ်ခြင်း ဖြစ်၍ Combination (\(C\)) ကို သုံးပါမည်။
အကြီးဆုံးသစ်သီး ၁ လုံးကို အမြဲတမ်းပါရန် ကြိုတင်ရွေးချယ်ထားလိုက်ပါမည်။
ထို့ကြောင့် ကျန်ရှိသော သစ်သီး \(9 - 1 = 8\) လုံးထဲမှ လိုအပ်သော \(4 - 1 = 3\) လုံးကိုသာ ဆက်လက်ရွေးချယ်ရန် လိုအပ်တော့သည်။
အဖြေ (a): \(56\) နည်း
အငယ်ဆုံးသစ်သီး ၁ လုံးကို လုံးဝမရွေးချယ်ဘဲ ဖယ်ထုတ်ထားလိုက်ပါမည်။
ထို့ကြောင့် ကျန်ရှိသော သစ်သီး \(9 - 1 = 8\) လုံးထဲမှ လိုအပ်သော သစ်သီး \(4\) လုံးစလုံးကို ရွေးချယ်ရမည်ဖြစ်သည်။
အဖြေ (b): \(70\) နည်း
ဥပမာ ၂၀။ (Example 20) #ch5eg20mm
မေးခွန်း။ EXCELLENCE ဟူသော စကားလုံးတွင် ပါဝင်သည့် အက္ခရာအားလုံးကို အသုံးပြု၍ ကွဲပြားသော စီစဉ်မှု (permutation) အရေအတွက် မည်မျှ ပြုလုပ်နိုင်သနည်း။
ဤပုစ္ဆာသည် တူညီသောအက္ခရာများ ပါဝင်နေသည့်အတွက် Permutation of Multisets (အုပ်စုတူပါဝင်သော စီစဉ်မှု) ပုံသေနည်း \(\dfrac{n!}{p! \cdot q! \cdot r! \dots}\) ကို အသုံးပြုရပါမည်။
EXCELLENCE တွင် စုစုပေါင်း အက္ခရာ အရေအတွက် \(n = 10\) လုံး ရှိသည်။
၎င်းတို့အနက် တူညီသော အက္ခရာများမှာ —
- E သည် \(3\) ကြိမ် ပါဝင်သည်။
- X သည် \(1\) ကြိမ် ပါဝင်သည်။
- C သည် \(2\) ကြိမ် ပါဝင်သည်။
- L သည် \(2\) ကြိမ် ပါဝင်သည်။
- N သည် \(1\) ကြိမ် ပါဝင်သည်။
အဖြေ။ နည်းလမ်းပေါင်း \(151200\) ဖြစ်သည်။
ဥပမာ ၂၁။ (Example 21) #ch5eg21mm
မေးခွန်း။ PROGRAM ဟူသော စကားလုံး၏ အက္ခရာများကို စီစဉ်ရာတွင် အောက်ပါအခြေအနေများဖြင့် မဆုံးသော (do not end in) စီစဉ်မှု အရေအတွက် မည်မျှရှိသနည်း။
(a) 2R's (R နှစ်လုံးဆင့်လျက်ဖြင့် မဆုံးရ)
(b) MAP (MAP ဟူသော စာလုံးတွဲဖြင့် မဆုံးရ)
PROGRAM တွင် စုစုပေါင်း အက္ခရာ အရေအတွက် \(n = 7\) လုံး ရှိပြီး R သည် \(2\) ကြိမ် ပါဝင်သည်။
ကန့်သတ်ချက်မရှိဘဲ စီစဉ်နိုင်သော စုစုပေါင်း နည်းလမ်း (Total Permutations):
ပထမဦးစွာ 2R's ဖြင့် ဆုံးသော (ends in 2R's) နည်းလမ်းကို ရှာပါမည်။
အဆုံးနေရာ ၂ ခုတွင် R နှင့် R ကို ပုံသေ သတ်မှတ်ထားလိုက်ပါက၊ ရှေ့ရှိ နေရာ ၅ ခုတွင် ကျန်အက္ခရာ ၅ လုံး (P, O, G, A, M) ကို စီစဉ်ရန် နည်းလမ်းမှာ \(5!\) ဖြစ်သည်။
အဖြေ (a): \(2400\)
ပထမဦးစွာ MAP ဖြင့် ဆုံးသော (ends in MAP) နည်းလမ်းကို ရှာပါမည်။
အဆုံးနေရာ ၃ ခုတွင် M, A, P ကို ထိုအစီအစဉ်အတိုင်း ပုံသေ သတ်မှတ်ထားလိုက်ပါက၊ ရှေ့ရှိ နေရာ ၄ ခုတွင် ကျန်အက္ခရာ ၄ လုံး (R, O, G, R) ကို စီစဉ်ရမည်။ ၎င်းတို့တွင် R သည် ၂ ကြိမ် ပါဝင်နေသည်။
အဖြေ (b): \(2508\)
ဥပမာ ၂၂။ (Example 22) #ch5eg22mm
မေးခွန်း။ အစု \(A\) တွင် မတူညီသော အစုဝင် ၉ ခု ပါဝင်ပါက၊ အောက်ပါအခြေအနေများနှင့် ကိုက်ညီသော \(A\) ၏ အစုပိုင်း (subsets) အရေအတွက် မည်မျှရှိသနည်း။
(a) အလွန်ဆုံး အစုဝင် ၂ ခုသာ ပါဝင်သော အစုပိုင်းများ (at most 2 elements)
(b) အနည်းဆုံး အစုဝင် ၃ ခု ပါဝင်သော အစုပိုင်းများ (at least 3 elements)
အစုဝင် \(n\) ခုရှိသော အစုတစ်ခု၏ အစုပိုင်း စုစုပေါင်းအရေအတွက်မှာ \(2^n\) ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် \(n = 9\) ဖြစ်သောကြောင့် စုစုပေါင်းအစုပိုင်း အရေအတွက်မှာ \(2^9 = 512\) ဖြစ်သည်။
အစုဝင် \(r\) ခုပါသော အစုပိုင်းအရေအတွက်ကို ရှာရန် Combination ပုံသေနည်း \({}^nC_r\) ကို အသုံးပြုရပါမည်။
"အလွန်ဆုံး ၂ ခု" ဟု ဆိုထားသဖြင့် အစုဝင် လုံးဝမပါခြင်း (၀ ခု)၊ ၁ ခုပါခြင်း သို့မဟုတ် ၂ ခုပါခြင်း အခြေအနေများကို ပေါင်းရပါမည်။
အစုပိုင်းအရေအတွက်\( = {}^9C_0 + {}^9C_1 + {}^9C_2 \) \[ {}^9C_0 = 1 \quad (\text{Empty set}), \quad {}^9C_1 = 9, \quad {}^9C_2 = \dfrac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \] စုစုပေါင်း\( = 1 + 9 + 36 = 46])အဖြေ (a): \(46\) ခု
"အနည်းဆုံး ၃ ခု" ဟု ဆိုသဖြင့် အစုဝင် ၃ ခုမှ ၉ ခုအထိ ပါဝင်နိုင်ပါသည်။ ၎င်းကို တိုက်ရိုက်တွက်မည့်အစား စုစုပေါင်းအစုပိုင်း အရေအတွက်ထဲမှ (a) တွင် တွက်ခဲ့သော "အလွန်ဆုံး ၂ ခု (၀၊ ၁၊ ၂ ခုပါသောအစုများ)" ကို နှုတ်ခြင်းဖြင့် ပိုမိုလွယ်ကူစွာ တွက်နိုင်ပါသည်။
အနည်းဆုံး ၃ ခုပါသောအစုများစုစုပေါင်းအစုပိုင်းများ - (၀၊ ၁၊ ၂ ခုပါသောအစုများ) \[ = 2^9 - 46 = 512 - 46 = 466 \]အဖြေ (b): \(466\) ခု
ဥပမာ ၂၃။ (Example 23) #ch5eg23mm
မေးခွန်း။ \(1, 2, 3, 4\) နှင့် \(5\) ဂဏန်းများကို အသုံးပြု၍ ဂဏန်းများထပ်ခြင်းမရှိဘဲ \(4000\) ထက်ကြီးသော ဂဏန်း ၄ လုံးပါ စုံကိန်း (4-digit even numbers) အရေအတွက် မည်မျှ ပြုလုပ်နိုင်သနည်း။
ဂဏန်း ၄ လုံးကိန်း ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် နေရာ ၄ ခု (ထောင်ရာဆယ်ခု) ရှိသည်။ ကန့်သတ်ချက် ၂ ခု ရှိပါသည် —
(၁) စုံကိန်း (Even number) ဖြစ်ရမည်ဖြစ်၍ ခုဂဏန်းနေရာတွင် \(2\) သို့မဟုတ် \(4\) သာ ဖြစ်ရမည်။
(၂) \(4000\) ထက်ကြီးရမည် (Greater than 4000) ဖြစ်၍ ထောင်ဂဏန်းနေရာတွင် \(4\) သို့မဟုတ် \(5\) သာ ဖြစ်ရမည်။
ဂဏန်း \(4\) သည် ကန့်သတ်ချက်နှစ်ခုစလုံးတွင် ပါဝင်နေသောကြောင့် ၎င်းကို အခြေခံ၍ ဖြစ်နိုင်ခြေ ၂ မျိုး ခွဲခြားစဉ်းစားရပါမည်။
- ထောင်ဂဏန်းနေရာ: \(4\) တစ်လုံးတည်းဖြစ်၍ \(1\) နည်း။
- ခုဂဏန်းနေရာ: စုံကိန်းဖြစ်ရမည်ဖြစ်ပြီး \(4\) ကို သုံးပြီးဖြစ်၍ \(2\) တစ်လုံးတည်းသာ ကျန်တော့သဖြင့် \(1\) နည်း။
- ရာဂဏန်းနှင့် ဆယ်ဂဏန်းနေရာ: ပေးထားသော ဂဏန်း ၅ လုံးထဲမှ ၂ လုံးကို သုံးပြီးဖြစ်၍ ကျန်ဂဏန်း ၃ လုံးထဲမှ နေရာ ၂ ခုအတွက် စီစဉ်ရမည် (\({}^3P_2\))။
\(3 \times 2 = 6\) နည်း။
\(\therefore\) ဖြစ်နိုင်ခြေ (၁) ၏ နည်းလမ်းပေါင်း \(= 1 \times 1 \times 6 = 6\) ခု။
- ထောင်ဂဏန်းနေရာ: \(5\) တစ်လုံးတည်းဖြစ်၍ \(1\) နည်း။
- ခုဂဏန်းနေရာ: စုံကိန်းဖြစ်ရမည် ဖြစ်ရာ ကျန်ရှိနေသော စုံဂဏန်း \(\{2, 4\}\) ထဲမှ ကြိုက်ရာရွေးနိုင်သဖြင့် \(2\) နည်း။
- ရာဂဏန်းနှင့် ဆယ်ဂဏန်းနေရာ: ဂဏန်း ၂ လုံးသုံးပြီးဖြစ်၍ ကျန်ဂဏန်း ၃ လုံးထဲမှ နေရာ ၂ ခုအတွက် စီစဉ်ရမည် (\({}^3P_2\))。
\(3 \times 2 = 6\) နည်း။
\(\therefore\) ဖြစ်နိုင်ခြေ (၂) ၏ နည်းလမ်းပေါင်း \(= 1 \times 2 \times 6 = 12\) ခု။
စုစုပေါင်း အရေအတွက် (Total Count):
ပေါင်းခြင်းနိယာမ အရ ရလဒ်နှစ်ခုကို ပေါင်းပါမည်။
အဖြေ။ \(4000\) ထက်ကြီးသော ၄ လုံးပါ စုံကိန်းပေါင်း \(18\) ခု ဖွဲ့စည်းနိုင်သည်။
ဥပမာ ၂၄။ (Example 24) #ch5eg24mm
မေးခွန်း။ မတူညီသော ဓာတုဗေဒစာအုပ် ၂ အုပ်၊ သင်္ချာစာအုပ် ၄ အုပ်နှင့် ရူပဗေဒစာအုပ် ၃ အုပ်ကို စင်ပေါ်တွင် စာကြောင်းတစ်ကြောင်းအတိုင်း စီစဉ်ရာတွင် အောက်ပါအခြေအနေများအတွက် နည်းလမ်းပေါင်း မည်မျှရှိသနည်း။
(a) ဓာတုဗေဒစာအုပ်များကို ဘယ်ဘက်၊ သင်္ချာစာအုပ်များကို အလယ်နှင့် ရူပဗေဒစာအုပ်များကို ညာဘက်တွင် ထားရှိခြင်း။
(b) ဘာသာရပ်တူစာအုပ်များကို စုပြီး အတူတူထားရှိခြင်း။
စာအုပ်များ၏ ဘာသာရပ်အလိုက် အုပ်စုနေရာ (ဘယ်၊ လယ်၊ ညာ) ကို သတ်မှတ်ပေးထားပြီး ဖြစ်သဖြင့် မိမိတို့အုပ်စုအတွင်း၌သာ နေရာလဲလှယ် စီစဉ်နိုင်ကြသည်။
- ဓာတုဗေဒစာအုပ် ၂ အုပ် စီစဉ်ရန်နည်းလမ်း \(= 2! = 2 \times 1 = 2\) နည်း
- သင်္ချာစာအုပ် ၄ အုပ် စီစဉ်ရန်နည်းလမ်း \(= 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) နည်း
- ရူပဗေဒစာအုပ် ၃ အုပ် စီစဉ်ရန်နည်းလမ်း \(= 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) နည်း
မြှောက်ခြင်းနိယာမ (Multiplication Principle) အရ —
စုစုပေါင်း နည်းလမ်း \( = 2! \times 4! \times 3! = 2 \times 24 \times 6 = 288 \)အဖြေ (a): \(288\) နည်း
ဘာသာရပ်တူစာအုပ်များကို အုပ်စုတစ်ခုစီ (၁ တုံးစီ) အဖြစ် ကျစ်ကျစ်လစ်လစ် စုစည်းလိုက်ပါမည်။
- ဓာတုဗေဒအုပ်စု (၁)၊ သင်္ချာအုပ်စု (၁)၊ ရူပဗေဒအုပ်စု (၁) ဟုဆိုကာ စုစုပေါင်း အုပ်စု ၃ ခု ရရှိမည်။ ၎င်းအုပ်စု ၃ ခုကို စင်ပေါ်တွင် နေရာလဲလှယ်ရန် နည်းလမ်းမှာ \(= 3! = 6\) နည်း ဖြစ်သည်။
- အုပ်စုတစ်ခုစီအတွင်း စာအုပ်များ နေရာလဲလှယ်ရန်နည်းလမ်းမှာ (a) အတိုင်း \(2!\), \(4!\) နှင့် \(3!\) တို့ ဖြစ်ကြသည်။
မြှောက်ခြင်းနိယာမအရ —
စုစုပေါင်း နည်းလမ်း\( = 3! \times (2! \times 4! \times 3!) = 6 \times 288 = 1728 \)အဖြေ (b): \(1728\) နည်း
ဥပမာ ၂၅။ (Example 25) #ch5eg25mm
မေးခွန်း။ SUNDAY ဟူသော စကားလုံး၏ အက္ခရာများကို စီစဉ်ရာတွင် သရ (vowels) ၂ လုံး အမြဲတမ်း တွဲလျက်ရှိနေမည့် စီစဉ်မှု အရေအတွက် မည်မျှရှိသနည်း။
SUNDAY တွင် ပါဝင်သော အက္ခရာစုစုပေါင်း \(6\) လုံး ရှိသည်။ ၎င်းတို့အနက် သရ (Vowels) များမှာ U နှင့် A (၂ လုံး) ဖြစ်ပြီး၊ ဗျည်း (Consonants) များမှာ S, N, D, Y (၄ လုံး) ဖြစ်သည်။
- သရများကို အုပ်စုဖွဲ့ခြင်း (String Method):
U နှင့် A ကို အမြဲတွဲနေစေရန် ပုံးတစ်ပုံး သို့မဟုတ် အုပ်စုတစ်စု [UA] အဖြစ် ဖွဲ့စည်းလိုက်ပါမည်။ - စုစုပေါင်း အရာဝတ္ထုကို ရေတွက်ခြင်း:
ဗျည်း ၄ လုံး (S, N, D, Y) နှင့် သရအုပ်စု ၁ ခု [UA] ကို ပေါင်းပါက စုစုပေါင်း နေရာချရမည့် အရာဝတ္ထု \(4 + 1 = 5\) ခု ရှိလာမည်။ ၎င်းတို့ကို စီစဉ်ရန်နည်းလမ်း \(= 5! = 120\) နည်း။ - အုပ်စုအတွင်း သရများ နေရာလဲခြင်း:
\([UA]\) အုပ်စုအတွင်း U နှင့် A သည် အချင်းချင်း \(2! = 2\) နည်းဖြင့် နေရာလဲနိုင်သည်။
မြှောက်ခြင်းနိယာမအရ —
စုစုပေါင်း စီစဉ်နိုင်သော နည်းလမ်း \( = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 \)အဖြေ။ \(240\) နည်း
ဥပမာ ၂၆။ (Example 26) #ch5eg26mm
မေးခွန်း။ INTERNET ဟူသော စကားလုံး၏ အက္ခရာအားလုံးကို စီစဉ်ရာတွင် T နှစ်လုံးကြား၌ အက္ခရာ တိတိကျကျ ၄ လုံး ရှိနေစေမည့် စီစဉ်မှု (permutation) အရေအတွက်ကို ရှာပါ။
INTERNET တွင် စုစုပေါင်း အက္ခရာ အရေအတွက် \(n = 8\) လုံး ရှိသည်။ ၎င်းတို့အနက် ပါဝင်သော အက္ခရာများမှာ I, N, T, E, R, N, E, T ဖြစ်ပြီး တူညီသောအက္ခရာများမှာ E (၂ ကြိမ်)၊ N (၂ ကြိမ်)၊ T (၂ ကြိမ်) တို့ ဖြစ်ကြသည်။
နေရာ ၈ ခုရှိသည့်အနက် T နှစ်လုံးကြားတွင် အက္ခရာ ၄ လုံး ခြားနေစေမည့် တည်နေရာအတွဲများမှာ အောက်ပါအတိုင်း ၃ မျိုး သာ ရှိနိုင်သည်။
- T _ _ _ _ T _ _ (နေရာ ၁ နှင့် ၆ တွင် T ထားခြင်း)
- _ T _ _ _ _ T _ (နေရာ ၂ နှင့် ၇ တွင် T ထားခြင်း)
- _ _ T _ _ _ _ T (နေရာ ၃ နှင့် ၈ တွင် T ထားခြင်း)
T နှစ်လုံးသည် တူညီနေသဖြင့် ၎င်းတို့အချင်းချင်း နေရာလဲရန်မလိုဘဲ တည်နေရာ ရွေးချယ်မှုအတွက် \(3\) နည်း ရှိသည်။
T နှစ်လုံး နေရာယူပြီးနောက် ကျန်ရှိသော နေရာ ၆ ခုတွင် ကျန်အက္ခရာ ၆ လုံး (I, N, E, R, N, E) ကို စီစဉ်ရပါမည်။ ၎င်းတို့တွင် E (၂ ကြိမ်)၊ N (၂ ကြိမ်) ပါဝင်နေသောကြောင့် အုပ်စုတူပါဝင်သော ပုံသေနည်းအရ —
ကျန်အက္ခရာများ စီစဉ်ရန်နည်းလမ်း \[= \dfrac{6!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{720}{2 \times 2} = \dfrac{720}{4} = 180 \]မြှောက်ခြင်းနိယာမအရ —
စုစုပေါင်း စီစဉ်နိုင်သော နည်းလမ်း \(= 3 \times 180 = 540\)အဖြေ။ \(540\) နည်း
📘 Counting principles · examples
Example 1 #ch5eg1
Suppose that there are 6 roads between town A and town B, and that 4 roads between town B and town C. Find the number of ways a person can drive from A to C by passing through B?
There are 6 ways to drive from A to B, and for each such way there are 4 ways to drive from B to C.
So, the number of ways to drive from A to C through B is \(6 \times 4 = 24\).
Example 2 #ch5eg2
There are four blood types, namely A, B, AB and O. Blood can also be RH(+ve) or RH(–ve). A blood donor can be classified as either male or female. How many different possible ways can a donor have his or her blood labeled?
There are 4 possibilities for the blood type, 2 possibilities for the RH factor and 2 possibilities for the gender of the donor.
So, the number of ways to label is \(4 \times 2 \times 2 = 16\).
Example 3 #ch5eg3
There are 3 picture nails on a wall. If there are 5 different pictures and each nail can hold only one picture, in how many different ways can the pictures be hung on all the nails?
Any one of the 5 pictures can be chosen for the first nail, then any one from the remaining four for the second, and finally any one from the remaining three for the third.
The number of ways to choose the pictures for individual nails are 5, 4 and 3 respectively.
So, the number of ways to hang the pictures is \(5 \times 4 \times 3 = 60\).
Example 4 #ch5eg4
How many different numbers can be formed using the digits 3, 5, 6, 8 and 9 in such a way that the numbers contain two or three digits without any repetition?
The two-digit numbers can be formed in \(5 \times 4 = 20\) ways.
The three-digit numbers can be formed in \(5 \times 4 \times 3 = 60\) ways.
So, there are \(20 + 60 = 80\) different numbers.
Example 5 #ch5eg5
How many integers, having digit 5 only once, are there between 0 and 100?
The integers, that we want to form, must be one of the followings:
- (i) One-digit integer, namely 5
- (ii) Two-digit integers having 5 as tens' digit (ones' digit may be anyone except 5)
- (iii) Two-digit integers having 5 as ones' digit
(tens' digit may be anyone except 0 and 5)
For the first case, the number of integers \(= 1\).
For the second case, the number of integers \(= 1 \times 9 = 9\).
For the third case, the number of integers \(= 8 \times 1 = 8\).
The required number of integers \(= 1 + 9 + 8 = 18\).
Example 6 #ch5eg6
Evaluate: (a) \(\dfrac{7!}{4! \cdot 3!}\) (b) \(\dfrac{6! + 5! - 4!}{4!}\)
Example 7 #ch5eg7
Express \[ \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2} \] in factorial form.
Example 8 #ch5eg8
Evaluate \(^{10}P_{5} + {}^{10}P_{0}\).
Example 9 #ch5eg9
Solve the equations for \(n\).
(a) \({}^nP_2 = 9n\) (b) \({}^nP_3 = 12 \cdot {}^nP_2\).
(a) \begin{align*} {}^nP_2 &= 9n \\ n \ge 2 \quad \text{and} \quad n(n - 1) &= 9n \\ n - 1 &= 9 \\ n &= 10 \end{align*}
(b) \begin{align*} {}^nP_3 &= 12 \cdot {}^nP_2 \\ n \ge 3 \quad \text{and} \quad n(n - 1)(n - 2) &= 12n(n - 1) \\ n - 2 &= 12 \\ n &= 14 \end{align*}
Example 10 #ch5eg10
In how many ways can a president, a treasurer and a secretary for a committee be selected from a group of 15 people?
The number of ways to select people for three different positions (ranks) is the number of permutations of 15 people taken 3 at a time, and hence it is \[ {}^{15}P_{3} = 15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730. \]
Example 11 #ch5eg11
In how many ways can all the letters of the word PENCIL be arranged, without repeating any letters?
There are 6 distinct letters. So the number of ways to arrange the letters is \[ {}^{6}P_{6} = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720. \]
Example 12 #ch5eg12
There are 2 buses, which have 5 and 4 vacant seats respectively, and 4 people at a bus stop. In how many ways can all these people be seated on either of the buses, but not both?
The first bus has 5 vacant seats, so the number of ways to be seated there is \[ {}^{5}P_{4} = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120. \] The second bus has 4 vacant seats, so the number of ways to be seated there is \[ 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24. \] Therefore, the required number of ways is \(120 + 24 = 144.\)
Example 13 #ch5eg13
In how many ways can 6 different books be arranged along a line on a shelf if one of the books is a dictionary and it must be at one end?
The dictionary must be fixed at the \(1^{\text{st}}\) or the \(6^{\text{th}}\) position in the arrangements.
If the dictionary is in the \(1^{\text{st}}\) position, the number of ways to arrange all the other books in remaining positions is \[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. \] If the dictionary is in the \(6^{\text{th}}\) position, the number of ways to arrange all the other books in remaining positions is \[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120. \] So, the required number of ways \(= (1 \times 120) + (120 \times 1) = 240.\)
Example 14 #ch5eg14
In how many ways can a committee of 4 people be selected from a group of 10 people?
The number of ways is \[{}^{10}C_{4} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210.\]
Example 15 #ch5eg15
Evaluate \({}^{21}C_{1}\), \({}^{21}C_{21}\), \({}^{21}C_{19}\) and \({}^{21}C_{2}\).
Example 16 #ch5eg16
A music class consists of 5 piano players, 7 guitarists and 4 violinists. A band of 1 piano player, 3 guitarists and 2 violinists must be chosen to play at a school concert. In how many ways can the band be chosen?
From the music class,
1 piano player can be chosen in \({}^{5}C_{1}\) ways,
3 guitarists can be chosen in \({}^{7}C_{3}\) ways, and
2 violinists can be chosen in \({}^{4}C_{2}\) ways.
So, the number of ways to choose a band is
\[
{}^{5}C_{1} \cdot {}^{7}C_{3} \cdot {}^{4}C_{2} = 5 \cdot \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \dfrac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 1050.
\]
Example 17 #ch5eg17
Suppose there are 4 black cars and 7 white cars. If all the cars are distinguishable, in how many ways can 3 cars of the same color be chosen?
To get the same color, the 3 cars must be all black or all white.
Out of 4 black cars, three can be chosen in \({}^{4}C_{3}\) ways.
Out of 7 white cars, three can be chosen in \({}^{7}C_{3}\) ways.
So, the required number of ways is
\[
{}^{4}C_{3} + {}^{7}C_{3} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} + \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 4 + 35 = 39.
\]
Example 18 #ch5eg18
There are 6 different books. In how many ways can the books be given to 3 children, if the youngest wants to receive 3 books, the elder 1 and the eldest 2 respectively.
For the youngest child, the books can be chosen in \({}^{6}C_{3} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20\) ways.
For the elder child, the books can be chosen in \({}^{3}C_{1} = 3\) ways.
For the eldest child, the books can be chosen in \({}^{2}C_{2} = 1\) ways.
So, the required number of ways is \(20 \cdot 3 \cdot 1 = 60.\)
Example 19 #ch5eg19
In how many ways can 4 fruits be selected out of 9 fruits, so as always to:
(a) include the largest fruit? (Assume that such a largest fruit exists.)
(b) exclude the smallest fruit? (Assume that such a smallest fruit exists.)
(a) The largest one is included in every selection. The number of ways only depends on the choice of the other three from the remaining 8 fruits, and hence it is \[ {}^{8}C_{3} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56. \]
(b) Since the smallest one is excluded in every selection, we have to select 4 fruits from the remaining 8 fruits. So the required number ways is \[ {}^{8}C_{4} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70. \]
Example 20 #ch5eg20
In how many ways can a permutation of all the letters of the word EXCELLENCE be formed?
In the word EXCELLENCE, there are 10 letters consisting of four E's, one X, two C's, two L's and one N. So number of ways is \[ \dfrac{10!}{4! \, 1! \, 2! \, 2! \, 1!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 1 \cdot (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1) \cdot 1} = 10 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 37800. \]
Example 21 #ch5eg21
How many permutations are there of the letters of the word PROGRAM, if they do not end in: (a) 2R's? (b) MAP?
In the word PROGRAM, there are 7 letters consisting of one P, two R's, one O, one G, one A and one M, so the number of permutations of the letters is \[ \dfrac{7!}{2!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 2520. \]
(a) The number of permutations ending in two R's is \(5! = 120\),
since the two R's are fixed at the end.
The number of permutations not ending in two R's \(= 2520 - 120 = 2400.\)
(b) The number of permutations ending in MAP is
\[
\dfrac{4!}{2!} = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 12,
\]
since MAP is fixed at the end, and there are two R's in the remaining 4 letters.
The number of permutations not ending in MAP \(= 2520 - 12 = 2508.\)
Example 22 #ch5eg22
If \(A\) is a set containing 9 distinct elements, how many subsets of \(A\) contain
(a) at most 2 elements?
(b) at least 3 elements?
(a) The number of combinations containing no element, 1 element and 2 elements are \({}^{9}C_{0}\), \({}^{9}C_{1}\) and \({}^{9}C_{2}\) respectively.
So the number of subsets containing at most 2 elements is
\begin{align*}
{}^{9}C_{0} + {}^{9}C_{1} + {}^{9}C_{2} &= 1 + 9 + \dfrac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} \\
&= 1 + 9 + 36 \\
&= 46.
\end{align*}
(b) The number of all the subsets of \(A\) is \(2^{9} = 512.\)
The number of subsets containing at least 3 elements \(= 512 - 46 = 466.\)
Example 23 #ch5eg23
How many 4-digit even numbers, greater than 4000, can be formed using the digits 1, 2, 3, 4 and 5, without repeating any digit?
Since the numbers are greater than 4000, the first digit must be 4 or 5.
Case 1. If the first digit is 4 and the last digit is 2,
| First digit | Second digit | Third digit | Last digit |
|---|---|---|---|
| 4 | … | … | 2 |
| 1 way | 3 ways | 2 ways | 1 way |
the numbers can be formed in \(1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) ways.
Case 2. If the first digit is 5 and the last digit is 2 or 4,
| First digit | Second digit | Third digit | Last digit |
|---|---|---|---|
| 5 | … | … | 2 or 4 |
| 1 way | 3 ways | 2 ways | 2 ways |
the numbers can be formed in \(1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12\) ways.
So, the number of 4-digit even numbers greater than 4000 is \(6 + 12 = 18.\)
Example 24 #ch5eg24
In how many ways can 2 different chemistry books, 4 different mathematics books and 3 different physics books be arranged in a line on a shelf if
(a) 2 chemistry books are to be placed on the left, 4 mathematics books in the middle and 3 physics books on the right?
(b) books of the same subjects are together?
(a) The number of ways to place 2 chemistry books in the left part is \(2! = 2 \cdot 1 = 2.\)
The number of ways to place 3 physics books in the right part is \(3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6.\)
The number of ways to place 4 mathematics books in the middle part is \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24.\)
The required number of ways \(= 2 \cdot 24 \cdot 6 = 288.\)
(b) The 3 subject wise groups can be placed in \(3! = 6\) ways, and in each such arrangement the books can be placed in 288 ways (as in part (a)).
The required number of ways to arrange books of the same subject together \(= 6 \cdot 288 = 1728.\)
Example 25 #ch5eg25
How many permutations of the letters S, U, N, D, A, Y are there if the two vowels are placed together?
If the two vowels U and A unite to form a new single letter, then the number of permutations of the letters is \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120.\) Again, U and A can be arranged in 2 different ways as UA and AU in each such permutation.
So the required number of permutations is \(120 \cdot 2 = 240.\)
Example 26 #ch5eg26
Find the number of permutations of all the letters of the word INTERNET in such a way that there are exactly 4 letters between the two T's.
The letters must be arranged in one of the three forms:
in which the 6 letters (2 N's, 2 E's, 1 I and 1 R) other than 2 T's are to be put in star positions. For each such form, the number of ways to put the six letters in star positions is \[ \dfrac{6!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2! \cdot 2 \cdot 1} = 180. \] So the required number of permutations is \(3 \cdot 180 = 540.\)
Post a Comment