G12 Chapter 4: Examples

📐 Vectors & 3D Geometry
Foundations & Applications

This chapter introduces the foundational concepts of vectors, their algebraic operations, and their applications in solving geometric problems in both two-dimensional (2D) and three-dimensional (3D) coordinate spaces, culminating in the geometry of lines and planes.

1. 3D Coordinate Systems and Position Vectors

• 3D Space Representation: Any point in a 3D rectangular coordinate system is represented as an ordered triplet $(x, y, z)$.
• Position Vector: The position vector of a point $P(x, y, z)$ relative to the origin $O(0,0,0)$ is written as:
  \[ \overrightarrow{OP} = \vec{p} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \] where $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ are the standard unit vectors along the $x, y,$ and $z$ axes respectively.
• Displacement Vector: The vector connecting an initial point $P$ to a terminal point $Q$ is found by subtracting their position vectors:
  \[ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} \] Consequently, reversing the direction yields a negative vector: $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$.

---

2. Basic Vector Operations and Properties

• Vector Addition and Subtraction: Performed component-wise. If $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}$ and $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$, then:
  \[ \vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ a_3 \pm b_3 \end{pmatrix} \]
• Scalar Multiplication: Multiplying a vector by a real number $k$ scales its components: $k\vec{a} = \begin{pmatrix} ka_1 \\ ka_2 \\ ka_3 \end{pmatrix}$.
• Magnitude (Length): The magnitude of a vector $\vec{a}$ is given by the Pythagorean distance formula in 3D:
  \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \]
• Unit Vector: A vector with a magnitude of $1$. The unit vector $\hat{a}$ pointing in the same direction as $\vec{a}$ is calculated by:
  \[ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \]
• Parallel Vectors: Two non-zero vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are parallel ($\vec{a} \parallel \vec{b}$) if and only if one is a scalar multiple of the other: $\vec{b} = k\vec{a}$. Alternatively, their corresponding components are proportional:
  \[ \frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2} = \frac{b_3}{a_3} \]
• Collinearity: Three points $A, B,$ and $C$ are collinear (lie on the same straight line) if the vectors formed by them (e.g., $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$) are parallel and share a common point.

---

3. The Dot Product (Scalar Product)

• Definition: The dot product of two vectors yields a scalar value and is defined as:
  \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \] where $\theta$ is the angle between the two vectors ($0 \le \theta \le \pi$).
• Angle Between Vectors: The angle $\theta$ can be derived using:
  \[ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \]
• Perpendicular (Orthogonal) Vectors: Two vectors are perpendicular ($\vec{a} \perp \vec{b}$) if and only if their dot product is zero ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$).
• Algebraic Properties:
  • $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (Commutative)
  • $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

---

4. The Cross Product (Vector Product)

• Definition: Unlike the dot product, the cross product results in a vector that is perpendicular to both originating vectors. It is evaluated using a $3 \times 3$ matrix determinant:
  \[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \]
• Magnitude and Geometric Interpretation:
  \[ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \]
  • The magnitude $|\vec{a} \times \vec{b}|$ equals the area of the parallelogram formed by vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$.
  • The area of a triangle with adjacent sides $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AC}$ is given by $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$.
• Algebraic Properties:
  • $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ (Anti-commutative)
  • $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$
• Perpendicular Unit Vector: A unit vector $\hat{n}$ orthogonal to both $\vec{a}$ and $\vec{b}$ is computed via:
  \[ \hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} \]

---

5. Equations of Lines and Planes in 3D Space

A. Straight Lines

• Vector Equation: A line passing through a point with position vector $\vec{a}$ and moving parallel to a direction vector $\vec{d}$ is represented as:
  \[ \vec{r} = \vec{a} + t\vec{d} \]
• Cartesian (Symmetric) Equation: Eliminating the parameter $t$ from the parametric equations yields:
  \[ \frac{x - x_0}{d_1} = \frac{y - y_0}{d_2} = \frac{z - z_0}{d_3} \]
• Point Verification: To determine if an arbitrary point lies on a given line, substitute its coordinates into the line's Cartesian equation and verify if the resulting ratios are equal.

B. Planes

• Vector Equation (using direction vectors): A plane passing through a point $\vec{a}$ and containing two non-parallel direction vectors $\vec{u}$ and $\vec{v}$ is:
  \[ \vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{u} + \mu\vec{v} \]
• Vector Equation (using a normal vector): A plane containing a point $\vec{a}$ with a perpendicular normal vector $\vec{n}$ is:
  \[ \vec{r} \cdot \vec{n} = d \quad \text{where } d = \vec{a} \cdot \vec{n} \]
• Cartesian Equation: Written in the linear form:
  \[ ax + by + cz = d \] where $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ represents the components of the normal vector $\vec{n}$.
• Coplanarity of Points: A set of four points $A, B, C,$ and $D$ are coplanar (lie in the same plane) if the point $D$ satisfies the unique Cartesian equation created by the other three points ($A, B,$ and $C$).

---

📌 Summary of Key Formulas

Dot Product

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

$\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0$

Cross Product

$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

Area (parallelogram) $= |\vec{a}\times\vec{b}|$

Area (triangle) $= \frac{1}{2}|\vec{a}\times\vec{b}|$

Line (Vector)

$\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}$

Cartesian: $\dfrac{x-x_0}{d_1} = \dfrac{y-y_0}{d_2} = \dfrac{z-z_0}{d_3}$

Plane

$\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{u} + \mu\vec{v}$

$\vec{r}\cdot\vec{n} = d$   (normal form)

$ax+by+cz = d$

💡 Tip: The cross product $\vec{a}\times\vec{b}$ gives a vector perpendicular to both $\vec{a}$ and $\vec{b}$. It is essential for finding normal vectors to planes and computing areas.

— Comprehensive reference for vectors, lines, and planes in 3D space —

===========================

Example 1

Example 1

Illustrate the points (a) $A(0,3,0)$ (b) $B(4,0,2)$ (c) $C(-1,2,2)$

Solution

[Visual representations of 3D coordinate plotting for points $A$, $B$, and $C$.]

(a) Point $A$ located at $3$ units along the $y$-axis.

(b) Point $B$ located in the $xz$-plane ($x=4, y=0, z=2$).

(c) Point $C$ located using a 3D box construction ($x=-1, y=2, z=2$).

Example 2

Example 2

If $P$ is $(-3, 1, 2)$ and $Q$ is $(1, -1, 3)$, find:

$$\text{(a) } \overrightarrow{OP} \qquad \text{(b) } \overrightarrow{PQ} \qquad \text{(c) } |\overrightarrow{PQ}| \qquad \text{(d) } \overrightarrow{QP} \qquad \text{(e) } |\overrightarrow{QP}|$$

Solution

(a) $\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

(b) $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3 \\ -1 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.$

(c) $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{21}.$

(d) $\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - 1 \\ 1 + 1 \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}.$

(e) $|\overrightarrow{QP}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{21}.$

Example 3

Example 3

If $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ and $\vec{q} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, find:

$$\text{(a) } \vec{p} + \vec{q} \qquad \text{(b) } \vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q} \qquad \text{(c) } \frac{3}{2}\vec{q} - \vec{p}.$$

Solution

(a) $\vec{p} + \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2 \\ -1 + 0 \\ 4 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}.$

(b) $\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 1 \\ -1 - 0 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}.$

(c) $\frac{3}{2}\vec{q} - \vec{p} = \frac{3}{2}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - 1 \\ 0 + 1 \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$

Example 4

Example 4

Find $u$ and $v$ given that $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ u \end{pmatrix}$ is parallel to $\vec{b} = \begin{pmatrix} v \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$.

Solution

Since $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are parallel, we have $\vec{a} = k \vec{b}$ for some scalar $k$.

$$\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ u \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} v \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}.$$

$$-1 = kv, \quad -1 = 2k \quad \text{and} \quad u = -2k.$$

We have $k = -\frac{1}{2}.$

Thus $u = 1 \quad \text{and} \quad v = 2.$

Example 5

Example 5

$ABCD$ is a parallelogram. $\quad$ $A$ is $(-1, 1, 1)$, $B$ is $(2, 0, -2)$, and $D$ is $(3, 1, 4)$.
Find the coordinates of $C$.

Solution

Let $C$ be $(x, y, z)$.
Since $ABCD$ is a parallelogram, $AB \parallel DC$, and they have the same length, so

$$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$$

$$\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$$

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} x - 3 \\ y - 1 \\ z - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}$$

$$\begin{array}{lll} x - 3 = 3, & y - 1 = -1, & z - 4 = -3 \\ x = 6, & y = 0, & z = 1. \end{array}$$

[Schematic diagram of parallelogram $ABCD$ with vertices labelled sequentially counterclockwise from top-left, showing directed vector pairs $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{DC}$.]

Therefore $C$ is $(6, 0, 1)$.

Example 6

Example 6

(a) Find the unit vector in the same direction as $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

(b) Find a vector of magnitude 5 that is parallel to $\vec{a}$.

Solution

(a) $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3.$

The unit vector of $\vec{a}$ is

$$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}.$$

(b) Let $\vec{b}$ be parallel to $\vec{a}$ and $|\vec{b}| = 5$.

Then $\vec{b} = 5\hat{a} = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ -\frac{10}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} \qquad \text{or} \qquad \vec{b} = -5\hat{a} = \begin{pmatrix} -\frac{10}{3} \\ \frac{10}{3} \\ -\frac{5}{3} \end{pmatrix}.$

Example 7

Example 7

Prove that $A(8,2,2)$, $C(20,5,5)$ and $B(12,3,3)$ are collinear.

Solution

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \\ &= \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \\ &= \begin{pmatrix} 20 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &= 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= 2 \overrightarrow{AB}. \end{aligned}$$

Therefore $BC$ is parallel to $AB$.
Since $B$ is common to both, it follows that $A, B$ and $C$ are collinear.

Example 8

Example 8

Find the angle between the two vectors $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}$.

Solution

Let $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ and $\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}$.

We can find that $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ and $|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = 13$,

and $\vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix} = 3 \times 5 + 4 \times (-12) = 15 - 48 = -33.$

$$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$

$$\cos\theta = \frac{-33}{65}$$

$$\theta = 120.5^\circ.$$

Example 9

Example 9

Given points $P(1,0,-1)$, $Q(2,4,1)$ and $R(3,5,6)$, find $\angle QPR$.

Solution

The angle between $\overrightarrow{PQ}$ and $\overrightarrow{PR}$ is given by $\theta$ in $\cos\theta = \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PQ}| |\overrightarrow{PR}|}$.

Since $\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$, we get

$$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{21}.$$

Again $\overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix}$, we get

$$|\overrightarrow{PR}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{78}.$$

$$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} = 36,$$

$$\cos\theta = \frac{36}{\sqrt{21} \times \sqrt{78}},$$

$$\theta = 27.2^\circ.$$

[Schematic diagram showing the angle $\theta$ between directed line segments $\overrightarrow{PQ}$ and $\overrightarrow{PR}$ radiating from point $P$.]

Example 10

Example 10

Given that $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are perpendicular vectors such that $|\vec{a}| = 3$ and $|\vec{b}| = 1$, evaluate $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 5\vec{b})$.

Solution

Since $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are perpendicular, so $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$.

$$\begin{aligned} (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 5\vec{b}) &= \vec{a} \cdot \vec{a} + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{b} \cdot \vec{a} - 5(\vec{b} \cdot \vec{b}) \\ &= \vec{a} \cdot \vec{a} - 5(\vec{b} \cdot \vec{b}) \\ &= |\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2 = 3^2 - 5 \times 1^2 = 4. \end{aligned}$$

Example 11

Example 11

Points $A, B$ and $C$ have position vectors $\vec{a} = k \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ and $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$.

(a) Find $\overrightarrow{BC}$.

(b) Find $\overrightarrow{AB}$ in terms of $k$.

(c) Find the value of $k$ for which $\overrightarrow{AB}$ is perpendicular to $\overrightarrow{BC}$.

Solution

(a) $\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix}.$

(b) $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} - k \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2k \\ 2 + k \\ -2 - k \end{pmatrix}.$

(c) Since $\overrightarrow{AB}$ is perpendicular to $\overrightarrow{BC}$, it follows that

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$

$$\begin{pmatrix} 3 - 2k \\ 2 + k \\ -2 - k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} = 0$$

$$-6 + 4k - 2 - k - 12 - 6k = 0$$

$$-3k = 20$$

$$k = -\frac{20}{3}.$$

Example 12

Example 12

Find the area of the parallelogram determined by the vectors $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ and $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$.

Solution

We can find that $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

$$= \begin{pmatrix} 2 \times (-1) - 3 \times 4 \\ 3 \times 1 - 1 \times (-1) \\ 1 \times 4 - 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -14 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}.$$

Now, $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{196 + 16 + 4} = \sqrt{216}.$

Therefore the area of the parallelogram is $\sqrt{216} \text{ unit}^2$.

Example 13

Example 13

Find the area of the triangle $ABC$ with vertices $A(1, -1, 3)$, $B(0, 4, 1)$ and $C(2, 7, 2)$.

Solution

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}$ and

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix}.$

Then, we find their vector product

$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -3 \\ -13 \end{pmatrix}.$$

Next $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{11^2 + (-3)^2 + (-13)^2} = \sqrt{299}.$

Therefore, we have

$$\text{Area of triangle } ABC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{299} \text{ unit}^2.$$

Example 14

Example 14

(a) Calculate $\vec{a} \times \vec{b}$ when $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ and $\vec{b} = \hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.

(b) Find a unit vector $\hat{n}$ that is perpendicular to both $\vec{a}$ and $\vec{b}$.

Solution

(a) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 2 - 5 \times (-4) \\ 5 \times 1 - 3 \times 2 \\ 3 \times (-4) - 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 \\ -1 \\ -14 \end{pmatrix}.$

(b) $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 24 \\ -1 \\ -14 \end{pmatrix}$. This vector is perpendicular to $\vec{a}$ and $\vec{b}$.

$$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{24^2 + (-1)^2 + (-14)^2} = \sqrt{773}.$$

So, a unit vector perpendicular to both $\vec{a}$ and $\vec{b}$ is $\hat{n} = \frac{1}{\sqrt{773}} \begin{pmatrix} 24 \\ -1 \\ -14 \end{pmatrix}.$

Example 15

Example 15

Given that $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$ and that $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are perpendicular, evaluate $|(2\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + 3\vec{b})|$.

Solution

$$\begin{aligned} (2\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + 3\vec{b}) &= 2\vec{a} \times \vec{a} + 2\vec{a} \times 3\vec{b} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times 3\vec{b} \\ &= 2(\vec{a} \times \vec{a}) + 6(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{b} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{b}) \\ &= 6(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{b} \times \vec{a}) \\ &= 6(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{b}) \\ &= 7(\vec{a} \times \vec{b}). \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} |(2\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + 3\vec{b})| &= 7|\vec{a} \times \vec{b}| \\ &= 7|\vec{a}| |\vec{b}| \\ &= 140. \end{aligned}$$

Example 16

Example 16

Find the Cartesian equation of the line with vector equation $\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$.

Solution

The vector equation is $\vec{r} = \vec{a} + t\vec{b}$, therefore

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}.$$

The parametric equations are:

$$\begin{aligned} x &= 1 + 3t, \quad t = \frac{x - 1}{3}, \\ y &= 4 + 2t, \quad t = \frac{y - 4}{2}, \\ z &= -1 + 5t, \quad t = \frac{z + 1}{5}. \end{aligned}$$

The Cartesian equation of the line is $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 1}{5}.$

Example 17

Example 17

Does the point $A(3,-2,2)$ lie on the line with equation $\frac{x + 1}{2} = \frac{4 - y}{3} = \frac{2z}{3}$?

Solution

Consider the given Cartesian equation passing through the point $A(3,-2,2)$.

$$\begin{aligned} \frac{x + 1}{2} &= \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ \frac{4 - y}{3} &= \frac{4 + 2}{3} = 2 \\ \frac{2z}{3} &= \frac{2 \times 2}{3} = \frac{4}{3} \end{aligned}$$

and so $2 = 2 \neq \frac{4}{3}$.

The coordinates do not satisfy the Cartesian equation. Therefore the point does not lie on the line.

Example 18

Example 18

Find the vector equation of the plane containing points $M(2, 2, -2)$, $N(1, -1, 3)$ and $P(4, 0, 2)$.

Solution

Let $\vec{a} = \overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$. We can find that

$$\vec{d}_1 = \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix},$$

$$\vec{d}_2 = \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}.$$

Therefore the vector equation of the plane is

$$\begin{aligned} \vec{r} &= \vec{a} + t_1\vec{d}_1 + t_2\vec{d}_2 \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

[Schematic diagram of a 3D projected plane containing points $M$, $N$, and $P$. Vector $\vec{a}$ links origin $O$ to point $M$, while basis directions $\vec{d}_1$ and $\vec{d}_2$ span outwards within the plane from $M$ toward $N$ and $P$.]

Example 19

Example 19

Find the Cartesian equation of the plane containing points $M(2,2,-2)$, $N(1,-1,3)$ and $P(4,0,2)$.

Solution

The equation of the plane containing $M$, $N$ and $P$ is

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}. \quad \text{(See Example 18)}$$

$$\begin{align} x &= 2 - t_1 + 2t_2 \\ y &= 2 - 3t_1 - 2t_2 \\ z &= -2 + 5t_1 + 4t_2 \end{align}$$

Add equations (1) and (2),

$$\begin{equation} x + y = 4 - 4t_1 \end{equation}$$

Multiply equation (2) by 2 and then add (3),

$$\begin{equation} 2y + z = 2 - t_1 \end{equation}$$

From equations (4) and (5), we obtain

$$\begin{aligned} \frac{x + y - 4}{-4} &= \frac{2y + z - 2}{-1} \\[1.5ex] -x - y + 4 &= -8y - 4z + 8 \\[1.5ex] x - 7y - 4z &= -4. \end{aligned}$$

Example 20

Example 20

Determine whether points $A(3, -1, 4)$, $B(2, 1, 1)$, $C(4, 3, 1)$ and $D(-3, 1, 4)$ lie in the same plane.

Solution

The equation of the plane containing $A, B$ and $C$ is

$$\vec{r} = \overrightarrow{OA} + t_1 \overrightarrow{AB} + t_2 \overrightarrow{AC}$$

$$= \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}.$$

If $D$ is on the plane, then $\vec{r} = \overrightarrow{OD}$,

$$\begin{align} 3 - t_1 + t_2 &= -3 \\ -1 + 2t_1 + 4t_2 &= 1 \\ 4 - 3t_1 - 3t_2 &= 4 \end{align}$$

Multiply equation (1) by 2, we get

$$\begin{equation} -2t_1 + 2t_2 = -12 \end{equation}$$

From (2) and (4), we obtain

$$t_1 = \frac{13}{3}, \quad t_2 = -\frac{5}{3}.$$

Substitute the values of $t_1$ and $t_2$ in left hand side of equation (3), we get

$$4 - 3\left(\frac{13}{3}\right) - 3\left(-\frac{5}{3}\right) = -4 \neq 4.$$

So, $D$ does not lie on the same plane as $A, B$ and $C$.

Example 21

Example 21

Find a vector equation of the plane containing the line $\vec{r} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ and point $A(3, -1, 2)$.

Solution

Let $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$.

The vector $\vec{d}_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ is on the plane.

$B(-2, 1, 2)$ is on the line (and hence on the plane), so

$$\begin{aligned} \vec{d}_2 = \overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \\ &= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

We see that $\vec{d}_2$ is also on the plane. Therefore the vector equation of the plane is

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + t_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}.$$

[Schematic 3D drawing of a plane tracking origin vector $\vec{a}$ running to tracking point $A$. A line cuts through the plane containing coordinate $B$, revealing directional vectors $\vec{d}_1$ tracing along the path of the line, and $\vec{d}_2$ branching from $A$ to $B$.]

Example 22

Example 22

Vector $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ is perpendicular to the plane which contains point $A(1, -5, 2)$.

(a) Write an equation of the plane in the form $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$.

(b) Find the Cartesian equation of the plane.

Solution

(a) The vector equation of the plane is $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$.

$$\vec{r} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 - 20 - 4 = -22$$

(b) $\quad \vec{r} \cdot \vec{n} = d$

$$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = -22$$

$$2x + 4y - 2z = -22$$

[Geometric diagram displaying a plane embedded with a fixed position vector $\vec{a}$ connecting to point $A$, a general vector $\vec{r}$ pointing to $R$, and an orthodox normal vector $\vec{n}$ standing perpendicular outwards from the flat sheet plane.]

=============================

Example 1

Example 1

Illustrate the points   (a) $A(0,3,0)$   (b) $B(4,0,2)$   (c) $C(-1,2,2)$

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

သုံးဖက်မြင်သြဒီနိတ်စနစ် (3D Coordinate System) တွင် အမှတ်တစ်ခုအား $(x, y, z)$ ပုံစံဖြင့် ပြပါသည်။

• (a) $A(0,3,0)$: ဤအမှတ်သည် $x=0$, $y=3$, $z=0$ ဖြစ်သောကြောင့် $y$-ဝင်ရိုး (y-axis) ပေါ်တွင် တည်ရှိပါသည်။
• (b) $B(4,0,2)$: ဤအမှတ်သည် $x=4$, $y=0$, $z=2$ ဖြစ်သောကြောင့် $xz$-ပြင်ညီ (xz-plane) ပေါ်တွင် တည်ရှိပါသည်။
• (c) $C(-1,2,2)$: ဤအမှတ်သည် $x=-1$, $y=2$, $z=2$ နေရာတွင် ရှိပါသည်။

---

Example 2

Example 2

If $P$ is $(-3, 1, 2)$ and $Q$ is $(1, -1, 3)$, find:

(a) $\overrightarrow{OP}$   (b) $\overrightarrow{PQ}$   (c) $|\overrightarrow{PQ}|$   (d) $\overrightarrow{QP}$   (e) $|\overrightarrow{QP}|$

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

အမှတ် $P(-3, 1, 2)$ နှင့် $Q(1, -1, 3)$ တို့အတွက် Position Vectors များမှာ $\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ နှင့် $\overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ဖြစ်သည်။

(a) $\overrightarrow{OP}$ ကို ရှာခြင်း:

$$ \overrightarrow{OP} = -3\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

(b) $\overrightarrow{PQ}$ ကို ရှာခြင်း:

$$ \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-3) \\ -1 - 1 \\ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

(c) $|\overrightarrow{PQ}|$ ကို ရှာခြင်း:

$$ |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21} $$

(d) $\overrightarrow{QP}$ ကို ရှာခြင်း:

$$ \overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ} = -\begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$

(e) $|\overrightarrow{QP}|$ ကို ရှာခြင်း:

$$ |\overrightarrow{QP}| = |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{21} $$

---

Example 3

Example 3

If $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ and $\vec{q} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$, find:

(a) $\vec{p} + \vec{q}$   (b) $\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$   (c) $\frac{3}{2}\vec{q} - \vec{p}$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

(a) $\vec{p} + \vec{q}$:

$$ \vec{p} + \vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + (-2) \\ -1 + 0 \\ 4 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} $$

(b) $\vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q}$:

$$ \vec{p} - \frac{1}{2}\vec{q} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (-1) \\ -1 - 0 \\ 4 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} $$

(c) $\frac{3}{2}\vec{q} - \vec{p}$:

$$ \frac{3}{2}\vec{q} - \vec{p} = \frac{3}{2}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - 1 \\ 0 - (-1) \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

---

Example 4

Example 4

Find $u$ and $v$ given that $\vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ u \end{pmatrix}$ is parallel to $\vec{b} = \begin{pmatrix} v \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

ဗက်တာနှစ်ခု ပြိုင်ကြလျှင် ($\vec{a} \parallel \vec{b}$) တစ်ခုသည် အခြားတစ်ခု၏ ကိန်းသေမြှောက်လဒ် (scalar multiple) ဖြစ်ရပါမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\vec{b} = k\vec{a}$ (သို့မဟုတ် $x, y, z$ သြဒီနိတ်များ၏ အချိုးအစား တူညီကြရမည်)။

$$ \frac{v}{-1} = \frac{2}{-1} = \frac{-2}{u} $$

အလယ်အချိုး $\frac{2}{-1} = -2$ ဖြစ်သောကြောင့်:

1. $\frac{v}{-1} = -2 \implies v = 2$
2. $\frac{-2}{u} = -2 \implies u = 1$

အဖြေ: $u = 1$, $v = 2$ ဖြစ်ပါသည်။

---

Example 5

Example 5

$ABCD$ is a parallelogram.   $A$ is $(-1, 1, 1)$, $B$ is $(2, 0, -2)$, and $D$ is $(3, 1, 4)$. Find the coordinates of $C$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

အပြိုင်စတုဂံ (Parallelogram) $ABCD$ တွင် မျက်နှာချင်းဆိုင်အနားများ ပြိုင်၍ အလျားတူညီကြသဖြင့် ဗက်တာများ တူညီကြသည်။

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $$

ဦးစွာ $\overrightarrow{AB}$ ကို ရှာပါမည်:

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ 0 - 1 \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} $$

အမှတ် $C$ ၏ သြဒီနိတ်ကို $(x, y, z)$ ဟု ထားပါက $\overrightarrow{DC}$ မှာ:

$$ \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 3 \\ y - 1 \\ z - 4 \end{pmatrix} $$

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} $ ဖြစ်သောကြောင့်:

$$ \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 3 \\ y - 1 \\ z - 4 \end{pmatrix} $$

သြဒီနိတ်တစ်ခုချင်းစီကို နှိုင်းယှဉ်ပါက:

$x - 3 = 3 \implies x = 6$
$y - 1 = -1 \implies y = 0$
$z - 4 = -3 \implies z = 1$

အဖြေ: အမှတ် $C$ ၏ သြဒီနိတ်မှာ $C(6, 0, 1)$ ဖြစ်ပါသည်။

==============

Example 6

Example 6

(a) Find the unit vector in the same direction as $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.
(b) Find a vector of magnitude 5 that is parallel to $\vec{a}$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

(a) $\vec{a}$ နှင့် လားရာတူညီသော ယူနစ်ဗက်တာ (Unit Vector) ကို ရှာခြင်း:
ယူနစ်ဗက်တာ $\hat{a}$ ကို ရှာရန် ပေးထားသော ဗက်တာအား ၎င်း၏ ပမာဏ (Magnitude) ဖြင့် စားရပါမည်။

$$ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} $$

ဦးစွာ ဗက်တာ $\vec{a}$ ၏ ပမာဏ $|\vec{a}|$ ကို ရှာပါမည်:

$$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 $$

ထို့ကြောင့် ယူနစ်ဗက်တာမှာ:

$$ \hat{a} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} $$

(b) ပမာဏ (Magnitude) 5 ရှိပြီး $\vec{a}$ နှင့် ပြိုင်သော ဗက်တာကို ရှာခြင်း:
$\vec{a}$ နှင့် ပြိုင်ပြီး ပမာဏ 5 ရှိသော ဗက်တာသည် လားရာတူညီနိုင်သလို ဆန့်ကျင်ဘက်လည်း ဖြစ်နိုင်သဖြင့် $\pm 5 \hat{a}$ ဖြစ်သည်။

$$ \vec{v} = \pm 5 \hat{a} = \pm 5 \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} \frac{10}{3} \\ -\frac{10}{3} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} $$

---

Example 7

Example 7

Prove that $A(8,2,2)$, $C(20,5,5)$ and $B(12,3,3)$ are collinear.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

အမှတ်သုံးခု မျဉ်းဖြောင့်တစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင် ရှိမရှိ (Collinear ဖြစ်မဖြစ်) ကို သက်သေပြရန် ၎င်းအမှတ်များဖြင့် တည်ဆောက်ထားသော ဗက်တာနှစ်ခုသည် ပြိုင်ကြကြောင်း (Scalar multiple ဖြစ်ကြောင်း) သက်သေပြရပါမည်။

ဦးစွာ $\overrightarrow{AB}$ နှင့် $\overrightarrow{AC}$ ကို ရှာပါမည်:

$$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 20 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} $$

ယခု ဗက်တာနှစ်ခု၏ ဆက်သွယ်ချက်ကို ကြည့်ပါက:

$$ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 12 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \overrightarrow{AB} $$

$\overrightarrow{AC} = 3 \overrightarrow{AB}$ ဖြစ်သောကြောင့် $\overrightarrow{AC}$ နှင့် $\overrightarrow{AB}$ တို့သည် ပြိုင်ကြသည်။ ထို့ပြင် ၎င်းတို့၌ ဘုံအမှတ် (Common point) $A$ ရှိနေသဖြင့် အမှတ် $A, B, C$ တို့သည် မျဉ်းဖြောင့်တစ်ကြောင်းတည်းပေါ်တွင် တည်ရှိကြသည် (Collinear ဖြစ်သည်) ဟု သက်သေပြနိုင်သည်။

---

Example 8

Example 8

Find the angle between the two vectors $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

ဗက်တာနှစ်ခု $\vec{u}$ နှင့် $\vec{v}$ ကြားရှိ ထောင့် $\theta$ ကို Dot Product ဖော်မြူလာဖြင့် ရှာနိုင်သည်:

$$ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} $$

$\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ နှင့် $\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ -12 \end{pmatrix}$ ဟု ထားပါက:

1. Dot Product ရှာခြင်း: $$ \vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(5) + (4)(-12) = 15 - 48 = -33 $$
2. ပမာဏများ ရှာခြင်း: $$ |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $$ $$ |\vec{v}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 $$

ဖော်မြူလာတွင် အစားသွင်းပါက:

$$ \cos \theta = \frac{-33}{5 \times 13} = \frac{-33}{65} \approx -0.5077 $$ $$ \theta = \arccos\left(-\frac{33}{65}\right) \approx 120.51^\circ $$

---

Example 9

Example 9

Given points $P(1,0,-1)$, $Q(2,4,1)$ and $R(3,5,6)$, find $\angle QPR$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

$\angle QPR$ သည် ဗက်တာ $\overrightarrow{PQ}$ နှင့် $\overrightarrow{PR}$ ကြားရှိ ထောင့် ဖြစ်သည်။

1. ဗက်တာများကို ရှာခြင်း: $$ \overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 4-0 \\ 1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $$ \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-0 \\ 6-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{pmatrix} $$
2. Dot Product နှင့် ပမာဏများကို ရှာခြင်း: $$ \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{PR} = (1)(2) + (4)(5) + (2)(7) = 2 + 20 + 14 = 36 $$ $$ |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} $$ $$ |\overrightarrow{PR}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 25 + 49} = \sqrt{78} $$

$\cos(\angle QPR)$ ကို တွက်ချက်ခြင်း:

$$ \cos(\angle QPR) = \frac{36}{\sqrt{21} \times \sqrt{78}} = \frac{36}{\sqrt{1638}} \approx \frac{36}{40.472} \approx 0.8895 $$ $$ \angle QPR = \arccos(0.8895) \approx 27.19^\circ $$

---

Example 10

Example 10

Given that $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are perpendicular vectors such that $|\vec{a}| = 3$ and $|\vec{b}| = 1$, evaluate $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 5\vec{b})$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

ပေးထားချက်အရ ဗက်တာ $\vec{a}$ နှင့် $\vec{b}$ တို့သည် ထောင့်မတ်ကျသဖြင့် ($\vec{a} \perp \vec{b}$):

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 $$

ထို့အပြင် $|\vec{a}| = 3 \implies \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$ ဖြစ်ပြီး၊ $|\vec{b}| = 1 \implies \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1^2 = 1$ ဖြစ်သည်။

မေးခွန်းရှိ Dot Product အား ဖြန့်မြှောက်ပါမည်:

$$ (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 5\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{b} \cdot \vec{a} - 5(\vec{b} \cdot \vec{b}) $$

Dot product တွင် ဖလှယ်ရီဥပဒေရှိသောကြောင့် $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ဖြစ်သည်။

$$ = |\vec{a}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 5|\vec{b}|^2 $$

တန်ဖိုးများ အစားသွင်းပါက:

$$ = 9 + 4(0) - 5(1) $$ $$ = 9 - 5 = 4 $$

အဖြေ: တန်ဖိုးမှာ $4$ ဖြစ်ပါသည်။

===================

Example 11

Example 11

Points $A, B$ and $C$ have position vectors $\vec{a} = k \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ and $\vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$.
(a) Find $\overrightarrow{BC}$.
(b) Find $\overrightarrow{AB}$ in terms of $k$.
(c) Find the value of $k$ for which $\overrightarrow{AB}$ is perpendicular to $\overrightarrow{BC}$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

(a) $\overrightarrow{BC}$ ကို ရှာခြင်း:

$$ \overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 3 \\ 1 - 2 \\ 4 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} $$

(b) $\overrightarrow{AB}$ ကို $k$ ဖြင့် ဖော်ပြခြင်း:

$$ \overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} - k\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - 2k \\ 2 + k \\ -2 - k \end{pmatrix} $$

(c) $\overrightarrow{AB}$ နှင့် $\overrightarrow{BC}$ ထောင့်မတ်ကျစေမည့် $k$ ၏ တန်ဖိုးကို ရှာခြင်း:
ဗက်တာနှစ်ခု ထောင့်မတ်ကျလျှင် ($\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}$) ၎င်းတို့၏ Dot Product သည် သုည ($0$) ဖြစ်ရပါမည်။

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 $$ $$ \begin{pmatrix} 3 - 2k \\ 2 + k \\ -2 - k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 6 \end{pmatrix} = 0 $$ $$ -2(3 - 2k) - 1(2 + k) + 6(-2 - k) = 0 $$ $$ -6 + 4k - 2 - k - 12 - 6k = 0 $$ $$ -3k - 20 = 0 \implies -3k = 20 \implies k = -\frac{20}{3} $$

---

Example 12

Example 12

Find the area of the parallelogram determined by the vectors $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ and $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

ဗက်တာနှစ်ခု $\vec{a}$ နှင့် $\vec{b}$ တို့ဖြင့် တည်ဆောက်ထားသော အပြိုင်စတုဂံ (Parallelogram) ၏ ဧရိယာသည် ၎င်းဗက်တာနှစ်ခု၏ Cross Product ပမာဏနှင့် ညီမျှသည်။

$$ \text{Area} = |\vec{a} \times \vec{b}| $$

ဦးစွာ $\vec{a} \times \vec{b}$ ကို Determinant နည်းလမ်းဖြင့် ရှာပါမည်:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & -1 \end{vmatrix} $$ $$ = \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} $$ $$ = \hat{i}(-2 - 12) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(4 - 2) = -14\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k} = \begin{pmatrix} -14 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} $$

ယခု ၎င်း၏ ပမာဏ (Magnitude) ကို တွက်ချက်ပါမည်:

$$ \text{Area} = \sqrt{(-14)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{196 + 16 + 4} = \sqrt{216} $$ $$ \sqrt{216} = \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6} \text{ sq. units} $$

---

Example 13

Example 13

Find the area of the triangle $ABC$ with vertices $A(1, -1, 3)$, $B(0, 4, 1)$ and $C(2, 7, 2)$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

တြိဂံ $ABC$ ၏ ဧရိယာသည် အနားနှစ်ဖက်ဖြစ်သော $\overrightarrow{AB}$ နှင့် $\overrightarrow{AC}$ တို့၏ Cross Product ပမာဏ၏ ထဝက် ဖြစ်သည်။

$$ \text{Area of } \triangle ABC = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| $$

ဦးစွာ ဗက်တာများကို ရှာပါမည်:

$$ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0-1 \\ 4-(-1) \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 7-(-1) \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -1 \end{pmatrix} $$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ကို တွက်ချက်ခြင်း:

$$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 5 & -2 \\ 1 & 8 & -1 \end{vmatrix} $$ $$ = \hat{i}(-5 - (-16)) - \hat{j}(1 - (-2)) + \hat{k}(-8 - 5) $$ $$ = 11\hat{i} - 3\hat{j} - 13\hat{k} = \begin{pmatrix} 11 \\ -3 \\ -13 \end{pmatrix} $$

ပမာဏကို ရှာခြင်း:

$$ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{11^2 + (-3)^2 + (-13)^2} = \sqrt{121 + 9 + 169} = \sqrt{299} $$

ထို့ကြောင့် တြိဂံဧရိယာမှာ:

$$ \text{Area} = \frac{1}{2}\sqrt{299} \text{ sq. units} $$

---

Example 14

Example 14

(a) Calculate $\vec{a} \times \vec{b}$ when $\vec{a} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ and $\vec{b} = \hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
(b) Find a unit vector $\hat{n}$ that is perpendicular to both $\vec{a}$ and $\vec{b}$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

(a) $\vec{a} \times \vec{b}$ ကို တွက်ချက်ခြင်း:

$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 5 \\ 1 & -4 & 2 \end{vmatrix} $$ $$ = \hat{i}(4 - (-20)) - \hat{j}(6 - 5) + \hat{k}(-12 - 2) = 24\hat{i} - \hat{j} - 14\hat{k} $$

(b) ဗက်တာနှစ်ခုလုံးနှင့် ထောင့်မတ်ကျသော ယူနစ်ဗက်တာ $\hat{n}$ ကို ရှာခြင်း:
ဗက်တာနှစ်ခုလုံးနှင့် ထောင့်မတ်ကျသော ဗက်တာသည် ၎င်းတို့၏ Cross Product ($\vec{a} \times \vec{b}$) ပင် ဖြစ်သည်။ ယူနစ်ဗက်တာရရန် ၎င်း၏ ပမာဏဖြင့် စားရပါမည်။

$$ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{24^2 + (-1)^2 + (-14)^2} = \sqrt{576 + 1 + 196} = \sqrt{773} $$ $$ \hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{773}} (24\hat{i} - \hat{j} - 14\hat{k}) $$

---

Example 15

Example 15

Given that $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$ and that $\vec{a}$ and $\vec{b}$ are perpendicular, evaluate $|(2\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + 3\vec{b})|$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

Cross Product ၏ ဂုဏ်သတ္တိများကို အသုံးပြု၍ ပေးထားသော Expression အား ဖြန့်ခွဲပါမည်။
မှတ်သားရန်- $\vec{u} \times \vec{u} = 0$ ဖြစ်ပြီး $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ ဖြစ်သည်။

$$ (2\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} + 3\vec{b}) = 2(\vec{a} \times \vec{a}) + 6(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{b} \times \vec{a}) - 3(\vec{b} \times \vec{b}) $$ $$ = 2(0) + 6(\vec{a} \times \vec{b}) - (- \vec{a} \times \vec{b}) - 3(0) $$ $$ = 6(\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{b}) = 7(\vec{a} \times \vec{b}) $$

ယခု ပမာဏ (Magnitude) ကို ယူပါမည်:

$$ |7(\vec{a} \times \vec{b})| = 7 |\vec{a} \times \vec{b}| $$

Cross Product ပမာဏ ဖော်မြူလာမှာ $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ ဖြစ်သည်။ ဗက်တာနှစ်ခု ထောင့်မတ်ကျသဖြင့် $\theta = 90^\circ$ ဖြစ်ပြီး $\sin 90^\circ = 1$ ဖြစ်သည်။

$$ |\vec{a} \times \vec{b}| = 4 \times 5 \times \sin 90^\circ = 20 \times 1 = 20 $$

ထို့ကြောင့် နောက်ဆုံးအဖြေမှာ:

$$ = 7 \times 20 = 140 $$

---

Example 16

Example 16

Find the Cartesian equation of the line with vector equation $\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix}$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

မျဉ်းဖြောင့်တစ်ကြောင်း၏ Vector Equation ကို $\vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ ဟု ထား၍ သြဒီနိတ်တစ်ခုချင်းစီအလိုက် ခွဲရေးနိုင်သည် (Parametric Equations):

$x = 1 + 3t \implies t = \frac{x - 1}{3}$
$y = 4 + 2t \implies t = \frac{y - 4}{2}$
$z = -1 + 5t \implies t = \frac{z + 1}{5}$

Parameter $t$ တန်ဖိုးချင်း ညီမျှခြင်းပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် Cartesian Equation (သို့မဟုတ် Symmetric Equation) ကို ရရှိပါမည်:

$$ \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z + 1}{5} $$

---

Example 17

Example 17

Does the point $A(3,-2,2)$ lie on the line with equation $\frac{x + 1}{2} = \frac{4 - y}{3} = \frac{2z}{3}$?

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

အမှတ် $A(3, -2, 2)$ သည် မျဉ်းဖြောင့်ပေါ်တွင် တည်ရှိခြင်း ရှိမရှိ သိရှိရန် ၎င်း၏ သြဒီနိတ်တန်ဖိုးများဖြစ်သော $x = 3, y = -2, z = 2$ တို့ကို ပေးထားသော မျဉ်းဖြောင့်ညီမျှခြင်းထဲသို့ အစားသွင်းစစ်ဆေးရပါမည်။

ညီမျှခြင်း၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုချင်းစီတွင် အစားသွင်းပါက:

1. $\frac{x + 1}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
2. $\frac{4 - y}{3} = \frac{4 - (-2)}{3} = \frac{6}{3} = 2$
3. $\frac{2z}{3} = \frac{2(2)}{3} = \frac{4}{3}$

ပထမ အစိတ်အပိုင်းနှစ်ခု၏ တန်ဖိုးမှာ $2$ ဖြစ်သော်လည်း တတိယအစိတ်အပိုင်း၏ တန်ဖိုးမှာ $\frac{4}{3}$ ဖြစ်သဖြင့် တန်ဖိုးအားလုံး တူညီမှုမရှိပါ။ ($2 = 2 \neq \frac{4}{3}$)

အဖြေ: ထို့ကြောင့် အမှတ် $A(3, -2, 2)$ သည် ပေးထားသော မျဉ်းဖြောင့်ပေါ်တွင် မတည်ရှိပါ။

---

Example 18

Example 18

Find the vector equation of the plane containing points $M(2, 2, -2)$, $N(1, -1, 3)$ and $P(4, 0, 2)$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

ပြင်ညီ (Plane) တစ်ခု၏ Vector Equation ပုံစံမှာ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{u} + \mu \vec{v}$ ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် $\vec{a}$ သည် ပြင်ညီပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်ခု၏ Position Vector ဖြစ်ပြီး $\vec{u}$ နှင့် $\vec{v}$ တို့သည် ပြင်ညီနှင့် ပြိုင်သော (ပြင်ညီပေါ်တွင်ရှိသော) ဗက်တာနှစ်ခု ဖြစ်သည်။

1. အမှတ် $M$ အား Base point အဖြစ် ထားရှိခြင်း: $\vec{a} = \overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
2. ပြင်ညီပေါ်ရှိ ဗက်တာနှစ်ခုအား ရှာခြင်း: $$ \vec{u} = \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ -1-2 \\ 3-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} $$ $$ \vec{v} = \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OM} = \begin{pmatrix} 4-2 \\ 0-2 \\ 2-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} $$

ထို့ကြောင့် ပြင်ညီ၏ Vector Equation မှာ:

$$ \vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \quad (\lambda, \mu \in \mathbb{R}) $$

---

Example 19

Example 19

Find the Cartesian equation of the plane containing points $M(2,2,-2)$, $N(1,-1,3)$ and $P(4,0,2)$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

ပြင်ညီ၏ Cartesian Equation ကို ရှာရန် ၎င်းပြင်ညီနှင့် ထောင့်မတ်ကျသော Normal Vector ($\vec{n}$) ကို အရင်ရှာရပါမည်။ Normal Vector ကို အနားဗက်တာနှစ်ခုဖြစ်သော $\overrightarrow{MN}$ နှင့် $\overrightarrow{MP}$ တို့ကို Cross Product ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ရရှိသည်။

Example 18 အရ: $\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}$ နှင့် $\overrightarrow{MP} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

$$ \vec{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -3 & 5 \\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix} $$ $$ = \hat{i}(-12 - (-10)) - \hat{j}(-4 - 10) + \hat{k}(2 - (-6)) = -2\hat{i} + 14\hat{j} + 8\hat{k} = \begin{pmatrix} -2 \\ 14 \\ 8 \end{pmatrix} $$

ပိုမိုရိုးရှင်းစေရန် ၎င်းဗက်တာအား $-2$ ဖြင့် စားပြီး $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ -4 \end{pmatrix}$ ဟု ယူနိုင်ပါသည်။

Cartesian equation ပုံစံ $ax + by + cz = d$ တွင် အစားသွင်းပါက:

$$ 1x - 7y - 4z = d $$

အမှတ် $M(2, 2, -2)$ အား အစားသွင်း၍ $d$ ကို ရှာပါမည်:

$$ 1(2) - 7(2) - 4(-2) = d \implies 2 - 14 + 8 = d \implies d = -4 $$

အဖြေ: ပြင်ညီ၏ Cartesian Equation မှာ $x - 7y - 4z = -4$ (သို့မဟုတ် $x - 7y - 4z + 4 = 0$) ဖြစ်သည်။

---

Example 20

Example 20

Determine whether points $A(3, -1, 4)$, $B(2, 1, 1)$, $C(4, 3, 1)$ and $D(-3, 1, 4)$ lie in the same plane.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

အမှတ်လေးခု ပြင်ညီတစ်ခုတည်းပေါ်တွင် ရှိမရှိ (Coplanar ဖြစ်မဖြစ်) သိရှိရန် အမှတ် $A, B, C$ သုံးခုဖြင့် အရင်ဆုံး ပြင်ညီညီမျှခြင်းတစ်ခုကို တည်ဆောက်ပြီး ကျန်ရှိသောအမှတ် $D$ သည် ထိုပြင်ညီပေါ်တွင် ကျရောက်ခြင်း ရှိမရှိ စစ်ဆေးရပါမည်။

1. ဗက်တာများ ရှာခြင်း: $$ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-3 \\ 1-(-1) \\ 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4-3 \\ 3-(-1) \\ 1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix} $$
2. Normal Vector ($\vec{n}$) ရှာခြင်း: $$ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6 - (-12)) - \hat{j}(3 - (-3)) + \hat{k}(-4 - 2) = 6\hat{i} - 6\hat{j} - 6\hat{k} $$

   ရိုးရှင်းအောင် ပြုလုပ်ပါက $\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$ ဟု ယူနိုင်သည်။

3. ABC ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်း ရှာခြင်း: $$ 1x - 1y - 1z = d \implies \text{အမှတ် } A(3, -1, 4) \text{ အစားသွင်းပါက: } 3 - (-1) - 4 = 0 \implies d = 0 $$

   ထို့ကြောင့် ပြင်ညီညီမျှခြင်းမှာ $x - y - z = 0$ ဖြစ်သည်။

4. အမှတ် $D(-3, 1, 4)$ အား စစ်ဆေးခြင်း:

   $x - y - z = -3 - 1 - 4 = -8 \neq 0$

တန်ဖိုးသည် သုညနှင့် မညီသောကြောင့် အမှတ် $D$ သည် $ABC$ ပြင်ညီပေါ်တွင် မရှိပါ။

အဖြေ: ထို့ကြောင့် အမှတ် $A, B, C, D$ တို့သည် ပြင်ညီတစ်ခုတည်းပေါ်တွင် မတည်ရှိကြပါ။

---

Example 21

Example 21

Find a vector equation of the plane containing the line $\vec{r} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ and point $A(3, -1, 2)$.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

ပြင်ညီတစ်ခုတွင် မျဉ်းဖြောင့်တစ်ကြောင်းနှင့် ပြင်ပအမှတ် $A$ ပါဝင်ပါက၊ ၎င်းပြင်ညီ၏ Vector Equation ကို အောက်ပါအတိုင်း ရှာနိုင်သည်:

• Base Point ($\vec{a}$): မျဉ်းပေါ်ရှိအမှတ် $P(-2, 1, 2)$ ကိုပင် ယူနိုင်သည်။ $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
• ပထမဦးတည်ချက်ဗက်တာ ($\vec{u}$): မျဉ်းဖြောင့်၏ လားရာဗက်တာသည် ပြင်ညီပေါ်တွင် ရှိသည်။ $\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
• ดုတိယဦးတည်ချက်ဗက်တာ ($\vec{v}$): မျဉ်းပေါ်ရှိအမှတ် $P$ မှ ပြင်ပအမှတ် $A$ သို့ ဆွဲသော ဗက်တာ $\overrightarrow{PA}$ ဖြစ်သည်။ $$ \vec{v} = \overrightarrow{PA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ -1 - 1 \\ 2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} $$

ထို့ကြောင့် ပြင်ညီ၏ Vector Equation မှာ:

$$ \vec{r} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad (t, s \in \mathbb{R}) $$

---

Example 22

Example 22

Vector $\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}$ is perpendicular to the plane which contains point $A(1, -5, 2)$.
(a) Write an equation of the plane in the form $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$.
(b) Find the Cartesian equation of the plane.

အသေးစိတ်ရှင်းလင်းချက်နှင့် အဖြေ (Detailed Solution)

(a) $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ ပုံစံဖြင့် ရေးခြင်း:
$d$ ၏ တန်ဖိုးကို သိရှိရန် ပြင်ညီပေါ်ရှိ အမှတ် $A$ ၏ Position Vector $\vec{a}$ နှင့် Normal Vector $\vec{n}$ တို့ကို Dot Product ပြုလုပ်ရပါမည်:

$$ d = \vec{a} \cdot \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = (1)(2) + (-5)(4) + (2)(-2) $$ $$ d = 2 - 20 - 4 = -22 $$

ထို့ကြောင့် ဗက်တာညီမျှခြင်းမှာ:

$$ \vec{r} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = -22 $$

(b) Cartesian Equation ရှာခြင်း:
$\vec{r} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ အစားသွင်းပြီး ဖြန့်မြှောက်ပါက:

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} = -22 $$ $$ 2x + 4y - 2z = -22 $$

ညီမျှခြင်းတစ်ခုလုံးကို $2$ ဖြင့် စားလိုက်လျှင် အရှင်းဆုံးပုံစံကို ရရှိပါမည်:

$$ x + 2y - z = -11 $$