G12 Chapter 3: Examples

$\def\Vec{\overrightarrow}$

Chapter 3: Analytical Solid Geometry
Summary & Formula Reference

Analytical solid geometry extends algebraic principles into three-dimensional space (3D space) using a right-handed Cartesian coordinate system defined by three mutually perpendicular axes: X, Y, and Z.

3.1 Coordinates of a Point in Space

• Coordinate Planes: The three axes intersect at the origin $(0, 0, 0)$ and form three coordinate planes: the XY-plane ($z=0$), YZ-plane ($x=0$), and ZX-plane ($y=0$). These planes divide space into eight octants.
• Point Representation: Any point $P$ in space is uniquely identified by an ordered triplet $(x, y, z)$.
• Distance Formula: The distance $d$ between two points $P_1(x_1, y_1, z_1)$ and $P_2(x_2, y_2, z_2)$ is given by: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
• Section Formula: The coordinates of a point dividing the line segment joining $P_1$ and $P_2$ in the ratio $m:n$ internally are: $$\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n} \right)$$
• Direction Cosines (Hyperbolic/Linear) & Ratios:
  • If a line makes angles $\alpha, \beta, \gamma$ with the positive X, Y, Z axes respectively, its direction cosines are $l = \cos\alpha$, $m = \cos\beta$, $n = \cos\gamma$, satisfying: $$l^2 + m^2 + n^2 = 1$$
  • Direction ratios $(a, b, c)$ are any numbers proportional to the direction cosines: $l = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, etc.

3.2 Lines

A line in 3D space can be represented in various mathematical forms:

• Symmetrical Form (Cartesian Form): Equation of a line passing through $(x_1, y_1, z_1)$ with direction ratios $(a, b, c)$: $$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = r$$ Any general point on this line is given by $(x_1 + ar, y_1 + br, z_1 + cr)$.
• Two-Point Form: Equation of a line passing through $(x_1, y_1, z_1)$ and $(x_2, y_2, z_2)$: $$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$$
• Vector Form: $\Vec{r} = \Vec{a} + \lambda\vec{b}$, where $\Vec{a}$ is the position vector of a point on the line, and $\Vec{b}$ is a vector parallel to the line.

3.3 Parallel, Skew, and Perpendicular Lines

For two lines with direction ratios $(a_1, b_1, c_1)$ and $(a_2, b_2, c_2)$:

• Parallel Lines: Proportional direction ratios: $$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$
• Perpendicular Lines: Orthogonal orientation: $$a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$$
• Angle Between Two Lines: Given by: $$\cos\theta = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$$
• Skew Lines: Lines that are neither parallel nor intersecting. They lie in different planes.
  • Shortest Distance (SD): For $\Vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1$ and $\Vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2$: $$SD = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$$
  • If $SD = 0$, the lines intersect and are coplanar.

3.4 Planes

• General Equation: $Ax + By + Cz + D = 0$, where $(A, B, C)$ represent the direction ratios of the normal vector.
• One-Point Form: Passing through $(x_1, y_1, z_1)$: $$A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0$$
• Intercept Form: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$
• Normal Form: $lx + my + nz = p$ where $p$ is the distance from the origin.
• Perpendicular Distance: From $(x_0, y_0, z_0)$ to the plane: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

3.5 Spheres

• Central Form: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$
• General Equation: $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$
  • Center: $(-u, -v, -w)$
  • Radius: $r = \sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d}$
• Diameter Form: $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) + (z - z_1)(z - z_2) = 0$
• Intersection with a Plane: Forms a circle with radius $r_c = \sqrt{R^2 - p^2}$, where $R$ is the sphere's radius and $p$ is the perpendicular distance from the center to the plane.

Example 1

Example 1.

Find the equation of the line through the point $(-3, 5, 7)$ and perpendicular to

(a) $xy$-plane          (b) $yz$-plane          (c) $zx$-plane.

Find the point of intersection of the line and plane.

Solution

(a) The equation of the line through the point $(-3, 5, 7)$ and perpendicular to $xy$-plane is $$x = -3, y = 5 \quad \text{or} \quad (-3, 5, z).$$ The point of intersection of the line and $xy$-plane is $(-3, 5, 0)$.

(b) The equation of the line through the point $(-3, 5, 7)$ and perpendicular to $yz$-plane is $$y = 5, z = 7 \quad \text{or} \quad (x, 5, 7).$$ The point of intersection of the line and $yz$-plane is $(0, 5, 7)$.

(c) The equation of the line through the point $(-3, 5, 7)$ and perpendicular to $zx$-plane is $$x = -3, z = 7 \quad \text{or} \quad (-3, y, 7).$$ The point of intersection of the line and $zx$-plane is $(-3, 0, 7)$.

=============

Example 2

Example 2.

Given $P(1, 2, 3)$ and $Q(3, 6, 5)$, find the coordinates of point $R(x, y, z)$ on the line $PQ$ with respect to the point $P$ and the following parameters.

(a) $k = \frac{1}{2}$          (b) $k = 2$          (c) $k = -2$

Solution

Given $P(1, 2, 3)$ and $Q(3, 6, 5)$, we have $\langle PQ \rangle = \langle l, m, n \rangle = \langle 2, 4, 2 \rangle$.

• (a) $k = \frac{1}{2} : \quad (x, y, z) = \left(1 + \frac{1}{2}(2), 2 + \frac{1}{2}(4), 3 + \frac{1}{2}(2)\right) = (2, 4, 4)$
• (b) $k = 2 : \quad (x, y, z) = (1 + 2(2), 2 + 2(4), 3 + 2(2)) = (5, 10, 7)$
• (c) $k = -2 : \quad (x, y, z) = (1 + (-2)(2), 2 + (-2)(4), 3 + (-2)(2)) = (-3, -6, -1)$

=============

Example 3

Example 3.

Given $P(-1, 2, 3)$ and $Q(3, 5, -2)$, determine whether or not the following points are on the line $PQ$. If the point is on the line $PQ$, find the corresponding parameter with respect to the point $P$.

(a) $\left(1, \frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)$          (b) $(7, 8, -7)$          (c) $(-5, -1, 8)$          (d) $(7, 8, -2)$

Solution

Given $P(-1, 2, 3)$ and $Q(3, 5, -2)$, we have $\langle PQ \rangle = \langle l, m, n \rangle = \langle 4, 3, -5 \rangle$.
The equation of the line $PQ$ is $$\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{-5}.$$ (a) If $(x, y, z) = \left(1, \frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)$, then $$\frac{x + 1}{4} = \frac{1 + 1}{4} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{y - 2}{3} = \frac{\frac{7}{2} - 2}{3} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{z - 3}{-5} = \frac{\frac{1}{2} - 3}{-5} = \frac{1}{2}$$ and so $\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{-5}$ for $(x, y, z) = \left(1, \frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)$.
Therefore the point $\left(1, \frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)$ is on the line $PQ$, corresponding parameter is $\frac{1}{2}$.

(b) If $(x, y, z) = (7, 8, -7)$, then $$\frac{x + 1}{4} = \frac{7 + 1}{4} = 2$$ $$\frac{y - 2}{3} = \frac{8 - 2}{3} = 2$$ $$\frac{z - 3}{-5} = \frac{-7 - 3}{-5} = 2$$ and so $\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{-5}$ for $(x, y, z) = (7, 8, -7)$.
Therefore the point $(7, 8, -7)$ is on the line $PQ$, corresponding parameter is $2$.

(c) If $(x, y, z) = (-5, -1, 8)$, then $$\frac{x + 1}{4} = \frac{-5 + 1}{4} = -1$$ $$\frac{y - 2}{3} = \frac{-1 - 2}{3} = -1$$ $$\frac{z - 3}{-5} = \frac{8 - 3}{-5} = -1$$ and so $\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{-5}$ for $(x, y, z) = (-5, -1, 8)$.
Therefore the point $(-5, -1, 8)$ is on the line $PQ$, corresponding parameter is $-1$.

(d) If $(x, y, z) = (7, 8, -2)$, then $$\frac{x + 1}{4} = \frac{7 + 1}{4} = 2$$ $$\frac{y - 2}{3} = \frac{8 - 2}{3} = 2$$ $$\frac{z - 3}{-5} = \frac{-2 - 3}{-5} = 1$$ and so $\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{3} \neq \frac{z - 3}{-5}$ for $(x, y, z) = (7, 8, -2)$.
Therefore the point $(7, 8, -2)$ is not on the line $PQ$.

=============

Example 4

Example 4.

Given $P(2, 1, 3)$ and $Q(6, -5, 3)$, determine whether or not the following points are on the line $PQ$. If the point is on the line $PQ$, find the corresponding parameter with respect to the point $P$.

(a) $(4, -2, 3)$          (b) $(-2, 7, 3)$          (c) $(10, -11, 3)$          (d) $(1, 1, 3)$

Solution

Given $P(2, 1, 3)$ and $Q(6, -5, 3)$, we have $\langle PQ \rangle = \langle l, m, n \rangle = \langle 4, -6, 0 \rangle$.
Then the coordinates of the point $(x, y, z)$ on the line $PQ$ are $$(x, y, z) = (2 + 4k, 1 - 6k, 3)$$ This means that the line $PQ$ is on the plane $z = 3$.

(a) If $(x, y, z) = (4, -2, 3)$, then $$(4, -2, 3) = (2 + 4k, 1 - 6k, 3),$$ we have $k = \frac{1}{2}$. Therefore the point $(4, -2, 3)$ is on the line $PQ$ with corresponding parameter $\frac{1}{2}$.

(b) If $(x, y, z) = (-2, 7, 3)$, then $$(-2, 7, 3) = (2 + 4k, 1 - 6k, 3),$$ we have $k = -1$. Therefore the point $(-2, 7, 3)$ is on the line $PQ$ with corresponding parameter $-1$.

(c) If $(x, y, z) = (10, -11, 3)$, then $$(10, -11, 3) = (2 + 4k, 1 - 6k, 3),$$ we have $k = 2$. Therefore the point $(10, -11, 3)$ is on the line $PQ$ with corresponding parameter 2.

(d) If $(x, y, z) = (1, 1, 3)$, then $$(1, 1, 3) = (2 + 4k, 1 - 6k, 3),$$ there is no value $k$ that satisfies this condition. Therefore the point $(1, 1, 3)$ is not on the line $PQ$.

=============

Example 5

Example 5.

Given $P(2,1,3)$, $Q(6,-5,4)$, $R(2,3,4)$ and $S(-1,5,1)$, determine whether the lines $PQ$ and $RS$ are parallel or skew or intersect.

Solution

For $P(2,1,3)$ and $Q(6,-5,4)$, $\langle PQ \rangle = \langle 4,-6,1 \rangle$.
For $R(2,3,4)$ and $S(-1,5,1)$, $\langle RS \rangle = \langle -3,2,-3 \rangle$.
Since $\frac{4}{-3} \neq \frac{-6}{2} \neq \frac{1}{-3}$, directed values of $\langle PQ \rangle$ are not multiple of $\langle RS \rangle$. So two lines are not parallel.

If a point $(x,y,z)$ is on the lines $PQ$ and $RS$, then $$\begin{align*} x &= 2 + 4s & x &= 2 - 3t \\ y &= 1 - 6s & y &= 3 + 2t \\ z &= 3 + s & z &= 4 - 3t \end{align*}$$ for real numbers $s$ and $t$. Then we have the following system of three equations $$\begin{align*} 2 + 4s &= 2 - 3t \\ 1 - 6s &= 3 + 2t \\ 3 + s &= 4 - 3t \end{align*}$$ Solving first two of these equations, we have $s = -\frac{3}{5}$ and $t = \frac{4}{5}$. But $$3 + \left(-\frac{3}{5}\right) \neq 4 - 3\left(\frac{4}{5}\right),$$ these values of $s$ and $t$ do not satisfy the last equation. So the system of equations has no solution, and hence the given lines do not intersect.
Therefore the given lines are skew.

=============

Example 6

Example 6.

Given $P(0, 0, 1)$, $Q(3, 6, 4)$, $R(0, 3, 1)$ and $S(3, 0, 4)$, show that the lines $PQ$ and $RS$ are perpendicular.

Solution

Given $P(0,0,1)$ and $Q(3,6,4)$, we have $\langle PQ \rangle = \langle 3, 6, 3 \rangle$.
Given $R(0,3,1)$ and $S(3,0,4)$, we have $\langle RS \rangle = \langle 3, -3, 3 \rangle$.
And we have $(3)(3) + (6)(-3) + (3)(3) = 0$.

If a point $(x, y, z)$ is on the lines $PQ$ and $RS$, then $$\begin{align*} x &= 0 + 3s & x &= 0 + 3t \\ y &= 0 + 6s & y &= 3 - 3t \\ z &= 1 + 3s & z &= 1 + 3t \end{align*}$$ for real numbers $s$ and $t$. Then we have the following system of three equations $$\begin{align*} 3s &= 3t \\ 6s &= 3 - 3t \\ 1 + 3s &= 1 + 3t \end{align*}$$ Solving these equations, we have $s = \frac{1}{3}$ and $t = \frac{1}{3}$. The point of intersection is $(1, 2, 2)$ and two lines intersect. Therefore two lines are perpendicular.

=============

Example 7

Example 7.

Find the equation of the line passing through the point $(-4, 7, -3)$ and perpendicular to the line $$(x, y, z) = (3 + 2k, -1 + 3k, 1 - k).$$ Find also the point of intersection of two lines.

Solution

Directed values of the given line are $$\langle 2, 3, -1 \rangle.$$ Directed values of the required line are $$\langle -4 - (3 + 2k), 7 - (-1 + 3k), -3 - (1 - k) \rangle = \langle -7 - 2k, 8 - 3k, -4 + k \rangle$$ for some real number $k$.

If two lines are perpendicular, then $$\begin{align*} 2(-7 - 2k) + 3(8 - 3k) + (-1)(-4 + k) &= 0 \\ -14 - 4k + 24 - 9k + 4 - k &= 0 \\ 14k &= 14 \\ k &= 1 \end{align*}$$ So directed values of the required line are $\langle -9, 5, -3 \rangle$ and the equation of the line is $$(x, y, z) = (-4 - 9t, 7 + 5t, -3 - 3t)$$ The point of intersection is $$(x, y, z) = (5, 2, 0).$$

=============

Example 8

Example 8.

Find the equation of the plane containing $A(1,0,1)$, $B(3,6,4)$ and $C(-2,3,1)$.

Solution

Given $A(1,0,1)$ and $B(3,6,4)$, we have $\langle AB \rangle = \langle l_1, m_1, n_1 \rangle = \langle 2,6,3 \rangle$.

Given $A(1,0,1)$ and $C(-2,3,1)$, we have $\langle AC \rangle = \langle l_2, m_2, n_2 \rangle = \langle -3,3,0 \rangle$ $$\begin{align*} a &= m_1 n_2 - m_2 n_1 = 6(0) - 3(3) = -9 \\ b &= n_1 l_2 - n_2 l_1 = 3(-3) - 0(2) = -9 \\ c &= l_1 m_2 - l_2 m_1 = 2(3) - (-3)(6) = 24 \end{align*}$$ and $$d = ax_1 + by_1 + cz_1 = -9(1) - 9(0) + 24(1) = 15$$ Therefore the equation of the plane is $$-9x - 9y + 24z = 15.$$ Note that we can use any point on the plane to calculate the value of $d$.

=============

Example 9

Example 9.

Find the equation of the line that passes through the point $(-1, 3, 2)$ and perpendicular to the plane $3x - 2y - z = 3$. Find the point of intersection of the line and the given plane.

Solution

Directed values of the line perpendicular to the plane $3x - 2y - z = 3$ are $\langle 3, -2, -1 \rangle$. Then equation of the line is $$\begin{align*} \frac{x - (-1)}{3} &= \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 2}{-1} \\ \frac{x + 1}{3} &= \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 2}{-1} \end{align*}$$ So coordinates of the points on the line are of the form $$\begin{align*} x &= -1 + 3s \\ y &= 3 + (-2)s = 3 - 2s \\ z &= 2 + (-1)s = 2 - s \end{align*}$$ If one of these points $P$ is on the plane, then $$\begin{align*} 3(-1 + 3s) - 2(3 - 2s) - (2 - s) &= 3 \\ -3 + 9s - 6 + 4s - 2 + s &= 3 \\ 14s &= 14 \\ s &= 1 \end{align*}$$ Therefore the point of intersection is $(2, 1, 1)$.

=============

Example 10

Example 10.

Find the equation of the plane containing the point $(-1, 3, 2)$ and parallel to the plane $3x - 2y - 3z = 2$.

Solution

Directed values of the line perpendicular to the plane $3x - 2y - 3z = 2$ are $\langle 3, -2, -3 \rangle$. This line is also perpendicular to the required plane. So equation of the required plane is $$3x - 2y - 3z = d$$ The point $(-1, 3, 2)$ is on this plane. So $$\begin{align*} 3(-1) - 2(3) - 3(2) &= d \\ d &= -15 \end{align*}$$ The equation of required plane is $3x - 2y - 3z = -15$.

=============

Example 11

Example 11.

Find the equation of the plane tangent to the sphere $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = 14$$ at the point $(3, 4, 1)$.

Solution

Directed values of the line joining center $C(2, 1, -1)$ of the sphere and the given point $P(3, 4, 1)$ are $\langle CP \rangle = \langle 1, 3, 2 \rangle$. Line $CP$ is perpendicular to the tangent plane. Thus equation of the plane is $$x + 3y + 2z = d.$$ Since $P(3, 4, 1)$ is on this plane, so we get $$\begin{align*} 3 + 3(4) + 2(1) &= d \\ d &= 17 \end{align*}$$ The equation of the plane is $$x + 3y + 2z = 17.$$

=============

Example 12

Example 12.

Find the equation of the sphere with center $(0, 1, 0)$ and touching the plane $x - 2y + 2z + 5 = 0$.

Solution

The equation of the line that passes through the center $C(0, 1, 0)$ and perpendicular to the plane $x - 2y + 2z + 5 = 0$ is $$\begin{align*} \frac{x - 0}{1} &= \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - 0}{2} \\ \frac{x}{1} &= \frac{y - 1}{-2} = \frac{z}{2} \end{align*}$$ So coordinates of the points on the line are of the form $$\begin{align*} x &= s \\ y &= 1 + (-2)s = 1 - 2s \\ z &= 2s \end{align*}$$ If one of these points $P$ is on the plane, then $$\begin{align*} s - 2(1 - 2s) + 2(2s) + 5 &= 0 \\ s - 2 + 4s + 4s + 5 &= 0 \\ 9s &= -3 \\ s &= -\frac{1}{3} \end{align*}$$ Therefore the point of intersection is $P\left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, -\frac{2}{3}\right)$. Thus we have the radius $$\begin{align*} CP &= \sqrt{\left(-\frac{1}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{5}{3} - 1\right)^2 + \left(-\frac{2}{3} - 0\right)^2} \\ &= \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} \\ &= 1 \end{align*}$$ Therefore the equation of the sphere is $x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 1$.

=============

Example 13

Example 13.

Find the equation of a sphere that passes through the points $(9, 0, 0)$, $(3, 13, 5)$ and $(11, 0, 10)$, given that its center lies on the $yz$-plane.

Solution

The equation of the sphere with center $(x_1, y_1, z_1)$ and radius $r$ is $$(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = r^2$$ Distance from center $(x_1, y_1, z_1)$ to each of the given points is $$\begin{align*} (9 - 0)^2 + (0 - y_1)^2 + (0 - z_1)^2 &= r^2 \quad (\text{in } yz\text{-plane}, x_1 = 0) \\ 81 + y_1^2 + z_1^2 &= r^2 \tag{1} \\[1em] (3 - 0)^2 + (13 - y_1)^2 + (5 - z_1)^2 &= r^2 \\ 9 + (13 - y_1)^2 + (5 - z_1)^2 &= r^2 \tag{2} \\[1em] (11 - 0)^2 + (0 - y_1)^2 + (10 - z_1)^2 &= r^2 \\ 121 + y_1^2 + (10 - z_1)^2 &= r^2 \tag{3} \end{align*}$$ From (1) and (3), $$\begin{align*} 81 + y_1^2 + z_1^2 &= 121 + y_1^2 + (10 - z_1)^2 \\ 81 + y_1^2 + z_1^2 &= 121 + y_1^2 + 100 - 20z_1 + z_1^2 \\ 0 &= 40 + 100 - 20z_1 \\ z_1 &= 7 \end{align*}$$ From (1) and (2), $$\begin{align*} 81 + y_1^2 + z_1^2 &= 9 + (13 - y_1)^2 + (5 - z_1)^2 \\ 81 + y_1^2 + 7^2 &= 9 + 169 - 26y_1 + y_1^2 + (5 - 7)^2 \\ 130 &= 182 - 26y_1 \\ y_1 &= 2 \end{align*}$$ Therefore $x_1 = 0, y_1 = 2$ and $z_1 = 7$ and substitute these values in equation (1), we get $$r^2 = 134.$$ The equation of the sphere is $$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - 7)^2 = 134.$$

===========================

Chapter 3: Examples (Myanmar)

Example 1

Example 1.

Find the equation of the line through the point $(-3, 5, 7)$ and perpendicular to (a) $xy$-plane (b) $yz$-plane (c) $zx$-plane. Find the point of intersection of the line and plane.

Solution:

သတ်မှတ်ချက်အရ အမှတ် $(-3, 5, 7)$ ကို ဖြတ်သန်းပြီး ပေးထားသော ပြင်ညီများပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းနှင့် ၎င်းတို့၏ ဖြတ်မှတ်ကို အောက်ပါအတိုင်း ရှာနိုင်သည်။

(a) $xy$-ပြင်ညီ ($xy$-plane) ပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း:

အမှတ် $(a, b, c)$ ကို ဖြတ်ပြီး $xy$-ပြင်ညီပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ $x = a, y = b$ ဖြစ်ပြီး၊ ထိုမျဉ်းပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်ခု၏ ပုံစံမှာ $(a, b, z)$ ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $(-3, 5, 7)$ အမှတ်ကို ဖြတ်ပြီး $xy$-ပြင်ညီပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ:

$$x = -3, y = 5 \quad \text{သို့မဟုတ်} \quad (-3, 5, z)$$

မျဉ်းနှင့် $xy$-ပြင်ညီတို့ ဖြတ်သန်းသည့်နေရာတွင် $z = 0$ ဖြစ်သောကြောင့်၊ ၎င်းတို့၏ ဖြတ်မှတ် (point of intersection) မှာ:

$$\left(-3, 5, 0\right)$$

(b) $yz$-ပြင်ညီ ($yz$-plane) ပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း:

အမှတ် $(a, b, c)$ ကို ဖြတ်ပြီး $yz$-ပြင်ညီပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ $y = b, z = c$ ဖြစ်ပြီး၊ ထိုမျဉ်းပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်ခု၏ ပုံစံမှာ $(x, b, c)$ ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $(-3, 5, 7)$ အမှတ်ကို ဖြတ်ပြီး $yz$-ပြင်ညီပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ:

$$y = 5, z = 7 \quad \text{သို့မဟုတ်} \quad (x, 5, 7)$$

မျဉ်းနှင့် $yz$-ပြင်ညီတို့ ဖြတ်သန်းသည့်နေရာတွင် $x = 0$ ဖြစ်သောကြောင့်၊ ၎င်းတို့၏ ဖြတ်မှတ် (point of intersection) မှာ:

$$\left(0, 5, 7\right)$$

(c) $zx$-ပြင်ညီ ($zx$-plane) ပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း:

အမှတ် $(a, b, c)$ ကို ဖြတ်ပြီး $zx$-ပြင်ညီပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ $x = a, z = c$ ဖြစ်ပြီး၊ ထိုမျဉ်းပေါ်ရှိ အမှတ်တစ်ခု၏ ပုံစံမှာ $(a, y, c)$ ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $(-3, 5, 7)$ အမှတ်ကို ဖြတ်ပြီး $zx$-ပြင်ညီပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းမှာ:

$$x = -3, z = 7 \quad \text{သို့မဟုတ်} \quad (-3, y, 7)$$

မျဉ်းနှင့် $zx$-ပြင်ညီတို့ ဖြတ်သန်းသည့်နေရာတွင် $y = 0$ ဖြစ်သောကြောင့်၊ ၎င်းတို့၏ ဖြတ်မှတ် (point of intersection) မှာ:

$$\left(-3, 0, 7\right)$$

---

========

Example 2

Example 2.

Given $P(1, 2, 3)$ and $Q(3, 6, 5)$, find the coordinates of point $R(x, y, z)$ on the line $PQ$ with respect to the point $P$ and the following parameters.
(a) $k = \frac{1}{2}$      (b) $k = 2$      (c) $k = -2$

Solution:

$P(x_1, y_1, z_1)$ နှင့် $Q(x_2, y_2, z_2)$ အမှတ်နှစ်ခုကို ဖြတ်သော $PQ$ မျဉ်းဆွဲစိပ်၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများ (directed values) $\langle l, m, n \rangle$ ကို အောက်ပါအတိုင်း ရှာနိုင်သည်။

$$(l, m, n) = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$$

ပေးထားသော $P(1, 2, 3)$ နှင့် $Q(3, 6, 5)$ အရ:

$$(l, m, n) = (3 - 1, 6 - 2, 5 - 3) = (2, 4, 2)$$

အမှတ် $P$ နှင့် ပါရာမီတာ $k$ ကို အခြေခံ၍ $PQ$ မျဉ်းပေါ်ရှိ အမှတ် $R(x, y, z)$ ၏ ကိုဩဒိနိတ်ပုံစံ ညီမျှခြင်း (coordinate form) မှာ:

$$(x, y, z) = (x_1 + kl, y_1 + km, z_1 + kn)$$ $$x = 1 + 2k, \quad y = 2 + 4k, \quad z = 3 + 2k$$

ပါရာမီတာ $k$ တန်ဖိုးတစ်ခုစီအတွက် $R$ ၏ ကိုဩဒိနိတ်များကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ချက်နိုင်သည်။

(a) $k = \frac{1}{2}$ အတွက်:

$$x = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1 + 1 = 2$$ $$y = 2 + 4\left(\frac{1}{2}\right) = 2 + 2 = 4$$ $$z = 3 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 3 + 1 = 4$$

ထို့ကြောင့် $R$ ၏ ကိုဩဒိနိတ်မှာ $R(2, 4, 4)$ ဖြစ်သည်။

(b) $k = 2$ အတွက်:

$$x = 1 + 2(2) = 1 + 4 = 5$$ $$y = 2 + 4(2) = 2 + 8 = 10$$ $$z = 3 + 2(2) = 3 + 4 = 7$$

ထို့ကြောင့် $R$ ၏ ကိုဩဒိနိတ်မှာ $R(5, 10, 7)$ ဖြစ်သည်။

(b) $k = -2$ အတွက်:

$$x = 1 + 2(-2) = 1 - 4 = -3$$ $$y = 2 + 4(-2) = 2 - 8 = -6$$ $$z = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1$$

ထို့ကြောင့် $R$ ၏ ကိုဩဒိနိတ်မှာ $R(-3, -6, -1)$ ဖြစ်သည်။

---

========

Example 3

Example 3.

Given $P(-1, 2, 3)$ and $Q(3, 5, -2)$, determine whether or not the following points are on the line $PQ$. If the point is on the line $PQ$, find the corresponding parameter with respect to the point $P.
(a) $\left(1, \frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)$      (b) $(7, 8, -7)$      (c) $(-5, -1, 8)$      (d) $(7, 8, -2)$

Solution:

ဦးစွာ $P(-1, 2, 3)$ နှင့် $Q(3, 5, -2)$ မျဉ်း၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများ $\langle l, m, n \rangle$ ကို ရှာပါမည်။

$$(l, m, n) = (3 - (-1), 5 - 2, -2 - 3) = (4, 3, -5)$$

ထို့ကြောင့် $PQ$ မျဉ်းပေါ်ရှိ မည်သည့်အမှတ်မဆို ပါရာမီတာ $k$ ဖြင့် ဖော်ပြသော ညီမျှခြင်းပုံစံမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$$x = -1 + 4k, \quad y = 2 + 3k, \quad z = 3 - 5k$$

အမှတ်တစ်ခုစီသည် $PQ$ မျဉ်းပေါ်၌ ရှိမရှိ စစ်ဆေးရန် ၎င်းတို့၏ $x, y, z$ ကိုဩဒိနိတ်များမှ ထွက်လာသော ပါရာမီတာ $k$ တန်ဖိုးများ တူညီမှု ရှိမရှိ စစ်ဆေးရမည်။

(a) $\left(1, \frac{7}{2}, \frac{1}{2}\right)$ အမှတ်အတွက်:

$x$-ကိုဩဒိနိတ်အရ:

$$1 = -1 + 4k \implies 4k = 2 \implies k = \frac{1}{2}$$

ဤ $k = \frac{1}{2}$ တန်ဖိုးကို $y$ နှင့် $z$ တို့တွင် အစားသွင်းစစ်ဆေးပါမည်။

$$y = 2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$ $$z = 3 - 5\left(\frac{1}{2}\right) = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$

ကိုဩဒိနိတ်အားလုံးအတွက် $k$ တန်ဖိုး တူညီသောကြောင့် ဤအမှတ်သည် $PQ$ မျဉ်းပေါ်တွင် ရှိပြီး ၎င်း၏ ပါရာမီတာမှာ $k = \frac{1}{2}$ ဖြစ်သည်။

(b) $(7, 8, -7)$ အမှတ်အတွက်:

$x$-ကိုဩဒိနိတ်အရ:

$$7 = -1 + 4k \implies 4k = 8 \implies k = 2$$

ဤ $k = 2$ တန်ဖိုးကို $y$ နှင့် $z$ တို့တွင် အစားသွင်းစစ်ဆေးပါမည်။

$$y = 2 + 3(2) = 2 + 6 = 8 \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$ $$z = 3 - 5(2) = 3 - 10 = -7 \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$

ကိုဩဒိနိတ်အားလုံးအတွက် $k$ တန်ဖိုး တူညီသောကြောင့် ဤအမှတ်သည် $PQ$ မျဉ်းပေါ်တွင် ရှိပြီး ၎င်း၏ ပါရာမီတာမှာ $k = 2$ ဖြစ်သည်။

(c) $(-5, -1, 8)$ အမှတ်အတွက်:

$x$-ကိုဩဒိနိတ်အရ:

$$-5 = -1 + 4k \implies 4k = -4 \implies k = -1$$

ဤ $k = -1$ တန်ဖိုးကို $y$ နှင့် $z$ တို့တွင် အစားသွင်းစစ်ဆေးပါမည်။

$$y = 2 + 3(-1) = 2 - 3 = -1 \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$ $$z = 3 - 5(-1) = 3 + 5 = 8 \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$

ကိုဩဒိနိတ်အားလုံးအတွက် $k$ တန်ဖိုး တူညီသောကြောင့် ဤအမှတ်သည် $PQ$ မျဉ်းပေါ်တွင် ရှိပြီး ၎င်း၏ ပါရာမီတာမှာ $k = -1$ ဖြစ်သည်။

(d) $(7, 8, -2)$ အမှတ်အတွက်:

$x$-ကိုဩဒိနိတ်အရ:

$$7 = -1 + 4k \implies 4k = 8 \implies k = 2$$

ဤ $k = 2$ တန်ဖိုးကို $y$ နှင့် $z$ တို့တွင် အစားသွင်းစစ်ဆေးပါမည်။

$$y = 2 + 3(2) = 2 + 6 = 8 \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$ $$z = 3 - 5(2) = 3 - 10 = -7 \neq -2 \quad (\text{မကိုက်ညီပါ})$$

$z$ ကိုဩဒိနိတ်အတွက် ပါရာမီတာ $k$ တန်ဖိုး မတူညီသောကြောင့် ဤအမှတ်သည် $PQ$ မျဉ်းပေါ်တွင် မရှိပါ။

---

========

Example 4

Example 4.

Given $P(2, 1, 3)$ and $Q(6, -5, 3)$, determine whether or not the following points are on the line $PQ$. If the point is on the line $PQ$, find the corresponding parameter with respect to the point $P.
(a) $(4, -2, 3)$      (b) $(-2, 7, 3)$      (c) $(10, -11, 3)$      (d) $(1, 1, 3)$

Solution:

$P(2, 1, 3)$ နှင့် $Q(6, -5, 3)$ မျဉ်း၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများ $\langle l, m, n \rangle$ ကို ရှာပါမည်။

$$(l, m, n) = (6 - 2, -5 - 1, 3 - 3) = (4, -6, 0)$$

ထို့ကြောင့် $PQ$ မျဉ်း၏ ကိုဩဒိနိတ်ညီမျှခြင်းပုံစံမှာ:

$$x = 2 + 4k, \quad y = 1 - 6k, \quad z = 3$$

(မှတ်ချက်- မျဉ်းပေါ်ရှိ မည်သည့်အမှတ်မဆို $z$ ကိုဩဒိနိတ်သည် အမြဲတမ်း $3$ ဖြစ်ရပါမည်။)

(a) $(4, -2, 3)$ အမှတ်အတွက်:

$x$-ကိုဩဒိနိတ်အရ:

$$4 = 2 + 4k \implies 4k = 2 \implies k = \frac{1}{2}$$

ဤ $k = \frac{1}{2}$ တန်ဖိုးကို $y$ တွင် အစားသွင်းစစ်ဆေးပါမည်။

$$y = 1 - 6\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - 3 = -2 \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$

$z$ ကိုဩဒိနိတ်သည်လည်း $3$ ဖြစ်သဖြင့် ကိုက်ညီပါသည်။ ထို့ကြောင့် ဤအမှတ်သည် $PQ$ မျဉ်းပေါ်တွင် ရှိပြီး ၎င်း၏ ပါရာမီတာမှာ $k = \frac{1}{2}$ ဖြစ်သည်။

(b) $(-2, 7, 3)$ အမှတ်အတွက်:

$x$-ကိုဩဒိနိတ်အရ:

$$-2 = 2 + 4k \implies 4k = -4 \implies k = -1$$

ဤ $k = -1$ တန်ဖိုးကို $y$ တွင် အစားသွင်းစစ်ဆေးပါမည်။

$$y = 1 - 6(-1) = 1 + 6 = 7 \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$

$z$ ကိုဩဒိနိတ်သည်လည်း $3$ ဖြစ်သဖြင့် ကိုက်ညီပါသည်။ ထို့ကြောင့် ဤအမှတ်သည် $PQ$ မျဉ်းပေါ်တွင် ရှိပြီး ၎င်း၏ ပါရာမီတာမှာ $k = -1$ ဖြစ်သည်။

(c) $(10, -11, 3)$ အမှတ်အတွက်:

$x$-ကိုဩဒိနိတ်အရ:

$$10 = 2 + 4k \implies 4k = 8 \implies k = 2$$

ဤ $k = 2$ တန်ဖိုးကို $y$ တွင် အစားသွင်းစစ်ဆေးပါမည်။

$$y = 1 - 6(2) = 1 - 12 = -11 \quad (\text{ကိုက်ညီပါသည်})$$

$z$ ကိုဩဒိနိတ်သည်လည်း $3$ ဖြစ်သဖြင့် ကိုက်ညီပါသည်။ ထို့ကြောင့် ဤအမှတ်သည် $PQ$ မျဉ်းပေါ်တွင် ရှိပြီး ၎င်း၏ ပါရာမီတာမှာ $k = 2$ ဖြစ်သည်။

(d) $(1, 1, 3)$ အမှတ်အတွက်:

$x$-ကိုဩဒိနိတ်အရ:

$$1 = 2 + 4k \implies 4k = -1 \implies k = -\frac{1}{4}$$

ဤ $k = -\frac{1}{4}$ တန်ဖိုးကို $y$ တွင် အစားသွင်းစစ်ဆေးပါမည်။

$$y = 1 - 6\left(-\frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \neq 1 \quad (\text{မကိုက်ညီပါ})$$

$y$ ကိုဩဒိနိတ် ကိုက်ညီမှုမရှိသောကြောင့် ဤအမှတ်သည် $PQ$ မျဉ်းပေါ်တွင် မရှိပါ။

---

========

Example 5

Example 5.

Given $P(2,1,3)$, $Q(6,-5,4)$, $R(2,3,4)$ and $S(-1,5,1)$, determine whether the lines $PQ$ and $RS$ are parallel or skew or intersect.

Solution:

မျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် ပြိုင်သလား (parallel)၊ ဖြတ်သလား (intersect) သို့မဟုတ် ရှောင်စောင်းမျဉ်းများ (skew lines) ဖြစ်သလား စစ်ဆေးရန် အောက်ပါအတိုင်း အဆင့်ဆင့် တွက်ချက်နိုင်သည်။

အဆင့် (၁) - မျဉ်းနှစ်ကြောင်း၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများ (Directed values) ကို ရှာခြင်း:

$PQ$ မျဉ်း၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများ $\langle l_1, m_1, n_1 \rangle$:

$$\langle l_1, m_1, n_1 \rangle = \langle 6 - 2, -5 - 1, 4 - 3 \rangle = \langle 4, -6, 1 \rangle$$

$RS$ မျဉ်း၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများ $\langle l_2, m_2, n_2 \rangle$:

$$\langle l_2, m_2, n_2 \rangle = \langle -1 - 2, 5 - 3, 1 - 4 \rangle = \langle -3, 2, -3 \rangle$$

အဆင့် (၂) - ပြိုင်ခြင်း ရှိမရှိ စစ်ဆေးခြင်း (Test for Parallelism):

မျဉ်းနှစ်ကြောင်း ပြိုင်ရန်အတွက် ၎င်းတို့၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများသည် အချိုးကျ (proportional) ဖြစ်ရမည်။

$$\frac{l_1}{l_2} = \frac{4}{-3}, \quad \frac{m_1}{m_2} = \frac{-6}{2} = -3, \quad \frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{-3}$$

ဦးတည်တန်ဖိုးများ၏ အချိုးများ မတူညီကြသောကြောင့် မျဉ်း $PQ$ နှင့် $RS$ တို့သည် ပြိုင်သောမျဉ်းများ မဟုတ်ကြပါ။

အဆင့် (၃) - ဖြတ်ခြင်း သို့မဟုတ် ရှောင်စောင်းခြင်း ရှိမရှိ စစ်ဆေးခြင်း (Test for Intersection or Skew):

$PQ$ မျဉ်းပေါ်ရှိ ယေဘုယျအမှတ်တစ်ခု၏ ပါရာမီတာညီမျှခြင်းကို ပါရာမီတာ $s$ ဖြင့် ဖော်ပြပါမည်:

$$x = 2 + 4s, \quad y = 1 - 6s, \quad z = 3 + s$$

$RS$ မျဉ်းပေါ်ရှိ ယေဘုယျအမှတ်တစ်ခု၏ ပါရာမီတာညီမျှခြင်းကို ပါရာမီတာ $t$ ဖြင့် ဖော်ပြပါမည်:

$$x = 2 - 3t, \quad y = 3 + 2t, \quad z = 4-3t$$

for real numbers $s$ and $t$. Then we have the following system of three equations

\begin{align*} 2 + 4s &= 2 - 3t \\ 1 - 6s &= 3 + 2t \\ 3 + s &= 4 - 3t \end{align*}

မျဉ်းနှစ်ကြောင်း ဖြတ်မည်ဆိုပါက $x, y, z$ တန်ဖိုးများ တူညီစေမည့် ဘုံပါရာမီတာ $s$ နှင့် $t$ ရှိရမည်။ Solving first two of these equations, we have $s = -\dfrac{3}{5}$ and $t = \dfrac{4}{5}$. But

\[ 3 + \left(-\frac{3}{5}\right) \neq 4 - 3\left(\frac{4}{5}\right), \]

စစ်ဆေးချက်အရ $\neq$ ဖြစ်သောကြောင့် ညီမျှခြင်း မကိုက်ညီပါ။ ထို့ကြောင့် မျဉ်းနှစ်ကြောင်းတွင် ဘုံဖြတ်မှတ်မရှိပါ (မဖြတ်ကြပါ)။

နိဂုံး:

မျဉ်း $PQ$ နှင့် $RS$ တို့သည် ပြိုင်လည်းမပြိုင်၊ ဖြတ်လည်းမဖြတ်သောကြောင့် ၎င်းတို့သည် ရှောင်စောင်းမျဉ်းများ (skew lines) ဖြစ်ကြသည်။

---

========

Example 6

Example 6.

Given $P(0, 0, 1)$, $Q(3, 6, 4)$, $R(0, 3, 1)$ and $S(3, 0, 4)$, show that the lines $PQ$ and $RS$ are perpendicular.

Solution:

အဆင့် (၁) - မျဉ်းတစ်ခုစီ၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများ (Directed values) ကို ရှာခြင်း:

ပေးထားသော အမှတ် $P(0,0,1)$ နှင့် $Q(3,6,4)$ အရ $PQ$ မျဉ်း၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများမှာ:

$$\langle PQ \rangle = \langle 3 - 0, 6 - 0, 4 - 1 \rangle = \langle 3, 6, 3 \rangle$$

ပေးထားသော အမှတ် $R(0,3,1)$ နှင့် $S(3,0,4)$ အရ $RS$ မျဉ်း၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများမှာ:

$$\langle RS \rangle = \langle 3 - 0, 0 - 3, 4 - 1 \rangle = \langle 3, -3, 3 \rangle$$

အဆင့် (၂) - ထောင့်မတ်ကျခြင်း ရှိမရှိ စစ်ဆေးခြင်း (Test for Perpendicularity):

ဗက်တာနှစ်ခု ထောင့်မတ်ကျရန်အတွက် ၎င်းတို့၏ Dot Product သည် သုည ($0$) ဖြစ်ရမည်။

$$\langle 3, 6, 3 \rangle \cdot \langle 3, -3, 3 \rangle = (3)(3) + (6)(-3) + (3)(3)$$ $$= 9 - 18 + 9 = 0$$

ဦးတည်တန်ဖိုးများ၏ Dot Product သည် $0$ ဖြစ်သောကြောင့် ဤမျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် တစ်ကြောင်းနှင့်တစ်ကြောင်း ထောင့်မတ်ကျနိုင်သော အနေအထားတွင် ရှိသည်။

အဆင့် (၃) - မျဉ်းနှစ်ကြောင်း အမှန်တကယ် ဖြတ်သန်းကြောင်း စစ်ဆေးခြင်း (Test for Intersection):

သီးခြားရပ်ဝန်းရှိ မျဉ်းနှစ်ကြောင်းသည် ထောင့်မတ်ကျရုံမျှဖြင့် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု မဖြတ်ဘဲ လွဲချော်နေသော ရှောင်စောင်းမျဉ်းများ (skew lines) ဖြစ်နေနိုင်သောကြောင့်၊ ၎င်းတို့ အမှန်တကယ် ဖြတ်မှတ် (point of intersection) ရှိမရှိကို အောက်ပါအတိုင်း ဆက်လက်သက်သေပြရမည်။

အကယ်၍ အမှတ် $(x, y, z)$ သည် မျဉ်း $PQ$ နှင့် $RS$ နှစ်ခုလုံးပေါ်တွင် တည်ရှိပါက၊ ကိန်းစစ် $s$ နှင့် $t$ (parameters) တို့ကို အသုံးပြု၍ ၎င်းတို့၏ ပါရာမီတာညီမျှခြင်းများကို အောက်ပါအတိုင်း ချရေးနိုင်သည်။

$PQ$ မျဉ်းအတွက်:

$$x = 0 + 3s, \quad y = 0 + 6s, \quad z = 1 + 3s$$

$RS$ မျဉ်းအတွက်:

$$x = 0 + 3t, \quad y = 3 - 3t, \quad z = 1 + 3t$$

ထိုကိုဩဒိနိတ်များကို ညီမျှခြင်းချခြင်းဖြင့် အောက်ပါ ညီမျှခြင်းစနစ် (system of equations) ကို ရရှိသည်။

\begin{align} 3s &= 3t \\ 6s &= 3 - 3t \\ 1 + 3s &= 1 + 3t \end{align}

ညီမျှခြင်း (1) သို့မဟုတ် (3) အရ:

$$s = t$$

ဤတန်ဖိုးကို ညီမျှခြင်း (2) တွင် အစားသွင်းခြင်းဖြင့်:

$$6s = 3 - 3(s)$$ $$6s + 3s = 3 \implies 9s = 3 \implies s = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

$s = \frac{1}{3}$ ဖြစ်သောကြောင့် $t = \frac{1}{3}$ လည်း ဖြစ်သည်။ ရရှိလာသော $s$ နှင့် $t$ တန်ဖိုးများသည် ပေးထားသော ညီမျှခြင်းအားလုံးကို ကိုက်ညီမှုရှိစေသည်။

ဖြတ်မှတ်ကို ရှာခြင်း:

$s = \frac{1}{3}$ ကို $PQ$ ၏ ညီမျှခြင်းများတွင် အစားသွင်းခြင်းဖြင့် ဖြတ်မှတ်ကို ရရှိနိုင်သည်။

$$x = 3\left(\frac{1}{3}\right) = 1$$ $$y = 6\left(\frac{1}{3}\right) = 2$$ $$z = 1 + 3\left(\frac{1}{3}\right) = 1 + 1 = 2$$

ထို့ကြောင့် မျဉ်းနှစ်ကြောင်း၏ ဖြတ်မှတ်မှာ $(1, 2, 2)$ ဖြစ်သည်။

နိဂုံး:

မျဉ်း $PQ$ နှင့် $RS$ တို့သည် တစ်ခုနှင့်တစ်ခု ထောင့်မတ်ကျရုံသာမက $(1, 2, 2)$ အမှတ်တွင် အမှန်တကယ် ဖြတ်သန်းကြသောကြောင့် ၎င်းတို့သည် ထောင့်မတ်ကျသော မျဉ်းများ (perpendicular lines) ဖြစ်ကြသည်။ (Proved)

[TikZ Diagram: Perpendicular Intersecting Lines PQ and RS at point (1,2,2)]

---

========

Example 7

Example 7.

Find the equation of the line passing through the point $(-4, 7, -3)$ and perpendicular to the line $[(x, y, z) = (3 + 2k, -1 + 3k, 1 - k).]$ Find also the point of intersection of two lines.

Solution:

ပေးထားသောမျဉ်းကို $L_1$ ဟု သတ်မှတ်ပြီး ရှာရမည့်မျဉ်းကို $L_2$ ဟု သတ်မှတ်ပါမည်။ $L_1$ မျဉ်းပေါ်ရှိ ယေဘုယျအမှတ်တစ်ခုကို $M(3 + 2k, -1 + 3k, 1 - k)$ ဟု ယူဆနိုင်သည်။

$L_2$ မျဉ်းသည် ပေးထားသော အမှတ် $A(-4, 7, -3)$ ကို ဖြတ်ပြီး $L_1$ နှင့် ဖြတ်မှတ်မှာ $M$ ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ $AM$ မျဉ်း၏ ဦးတည်ဗက်တာမှာ:

$$\vec{AM} = \langle (3 + 2k) - (-4), (-1 + 3k) - 7, (1 - k) - (-3) \rangle$$ $$\vec{AM} = \langle 7 + 2k, -8 + 3k, 4 - k \rangle$$

ပေးထားသော မျဉ်း $L_1$ ၏ ဦးတည်ဗက်တာမှာ $\vec{d}_1 = \langle 2, 3, -1 \rangle$ ဖြစ်သည်။ $L_1$ နှင့် $L_2$ (ဝါ) $AM$ မျဉ်းတို့သည် ထောင့်မတ်ကျသဖြင့် ၎င်းတို့၏ Dot Product သည် $0$ ဖြစ်ရမည်။

$$\vec{AM} \cdot \vec{d}_1 = 0$$ $$2(7 + 2k) + 3(-8 + 3k) - 1(4 - k) = 0$$ $$14 + 4k - 24 + 9k - 4 + k = 0$$ $$14k - 14 = 0 \implies 14k = 14 \implies k = 1$$

ဖြတ်မှတ် (Point of Intersection) ကို ရှာခြင်း:

$k = 1$ ကို အမှတ် $M$ တွင် အစားသွင်းခြင်းဖြင့် ဖြတ်မှတ်ကို ရရှိမည်။

$$x = 3 + 2(1) = 5$$ $$y = -1 + 3(1) = 2$$ $$z = 1 - 1 = 0$$

ထို့ကြောင့် ဖြတ်မှတ်မှာ $(5, 2, 0)$ ဖြစ်သည်။

မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်း (Equation of the line $L_2$):

$k = 1$ ကို $\vec{AM}$ တွင် အစားသွင်းခြင်းဖြင့် ၎င်း၏ ဦးတည်တန်ဖိုးများကို ရရှိမည်။

$$\vec{AM} = \langle 7 + 2(1), -8 + 3(1), 4 - 1 \rangle = \langle 9, -5, 3 \rangle$$

အမှတ် $(-4, 7, -3)$ ကို ဖြတ်ပြီး ဦးတည်တန်ဖိုး $\langle 9, -5, 3 \rangle$ ရှိသော မျဉ်း၏ ပါရာမီတာညီမျှခြင်းမှာ:

$$(x, y, z) = (-4 + 9t, 7 - 5t, -3 + 3t)$$

[TikZ Diagram: Line L1 and L2 intersecting at point M(5,2,0) perpendicularly]

---

========

Example 8

Example 8.

Find the equation of the plane containing $A(1,0,1)$, $B(3,6,4)$ and $C(-2,3,1)$.

Solution:

အမှတ်သုံးခုပါဝင်သော ပြင်ညီ (plane) ၏ ညီမျှခြင်းကို ရှာရန် ဦးစွာ ထိုပြင်ညီပေါ်ရှိ ဗက်တာနှစ်ခုကို ရှာရပါမည်။

$$\vec{AB} = \langle 3 - 1, 6 - 0, 4 - 1 \rangle = \langle 2, 6, 3 \rangle$$ $$\vec{AC} = \langle -2 - 1, 3 - 0, 1 - 1 \rangle = \langle -3, 3, 0 \rangle$$

ပြင်ညီ၏ ထောင့်မတ်ဗက်တာ (Normal Vector $\vec{n}$) ကို ရှာရန် ၎င်းဗက်တာနှစ်ခုကို Cross Product ပြုလုပ်ရပါမည်။

$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 6 & 3 \\ -3 & 3 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = \vec{i}(0 - 9) - \vec{j}(0 - (-9)) + \vec{k}(6 - (-18))$$ $$\vec{n} = -9\vec{i} - 9\vec{j} + 24\vec{k} = \langle -9, -9, 24 \rangle$$

တွက်ချက်မှု လွယ်ကူစေရန် $\vec{n}$ ကို $-3$ ဖြင့် စားပြီး ရှင်းရိုးပုံစံ ပြောင်းလဲယူနိုင်ပါသည်။

$$\vec{n} = \langle 3, 3, -8 \rangle$$

အမှတ် $A(1, 0, 1)$ ကို ဖြတ်ပြီး Normal Vector $\langle 3, 3, -8 \rangle$ ရှိသော ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းမှာ:

$$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$$ $$3(x - 1) + 3(y - 0) - 8(z - 1) = 0$$ $$3x - 3 + 3y - 8z + 8 = 0$$ $$3x + 3y - 8z + 5 = 0$$

[TikZ Diagram: Plane containing points A, B, C with normal vector n]

---

========

Example 9

Example 9.

Find the equation of the line that passes through the point $(-1, 3, 2)$ and perpendicular to the plane $3x - 2y - z = 3$. Find the point of intersection of the line and the given plane.

Solution:

ပေးထားသော ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းမှာ $3x - 2y - z = 3$ ဖြစ်သဖြင့် ၎င်း၏ Normal Vector မှာ $\vec{n} = \langle 3, -2, -1 \rangle$ ဖြစ်သည်။ ရှာရမည့် မျဉ်းသည် ပြင်ညီပေါ်သို့ ထောင့်မတ်ကျသောကြောင့် ပြင်ညီ၏ Normal Vector သည် ထိုမျဉ်း၏ ဦးတည်ဗက်တာ (direction vector) ဖြစ်လာမည်။

မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်း:

အမှတ် $(-1, 3, 2)$ ကို ဖြတ်ပြီး ဦးတည်တန်ဖိုး $\langle 3, -2, -1 \rangle$ ရှိသော မျဉ်း၏ ပါရာမီတာညီမျှခြင်းမှာ:

$$x = -1 + 3t, \quad y = 3 - 2t, \quad z = 2 - t$$

ဖြတ်မှတ် (Point of Intersection) ကို ရှာခြင်း:

ဤမျဉ်းပေါ်ရှိ ယေဘုယျအမှတ်ကို ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းတွင် အစားသွင်း၍ ပါရာမီတာ $t$ ကို ရှာပါမည်။

$$3(-1 + 3t) - 2(3 - 2t) - (2 - t) = 3$$ $$-3 + 9t - 6 + 4t - 2 + t = 3$$ $$14t - 11 = 3 \implies 14t = 14 \implies t = 1$$

$t = 1$ ကို မျဉ်း၏ ညီမျှခြင်းတွင် အစားသွင်းခြင်းဖြင့် ဖြတ်မှတ်ကို ရရှိမည်။

$$x = -1 + 3(1) = 2$$ $$y = 3 - 2(1) = 1$$ $$z = 2 - 1 = 1$$

ထို့ကြောင့် မျဉ်းနှင့် ပြင်ညီတို့၏ ဖြတ်မှတ်မှာ $(2, 1, 1)$ ဖြစ်သည်။

[TikZ Diagram: Line passing through point (-1,3,2) intersecting a plane at (2,1,1)]

---

========

Example 10

Example 10.

Find the equation of the plane containing the point $(-1, 3, 2)$ and parallel to the plane $3x - 2y - 3z = 2$.

Solution:

ပြင်ညီနှစ်ခု ပြိုင်ကြလျှင် (parallel planes) ၎င်းတို့တွင် တူညီသော Normal Vector ရှိကြသည်။ ပေးထားသော ပြင်ညီ $3x - 2y - 3z = 2$ ၏ Normal Vector မှာ $\vec{n} = \langle 3, -2, -3 \rangle$ ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် ရှာရမည့် ပြင်ညီ၏ Normal Vector သည်လည်း $\vec{n} = \langle 3, -2, -3 \rangle$ ပင် ဖြစ်ရမည်။

အမှတ် $(-1, 3, 2)$ ကို ဖြတ်ပြီး Normal Vector $\langle 3, -2, -3 \rangle$ ရှိသော ပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းမှာ:

$$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$$ $$3(x - (-1)) - 2(y - 3) - 3(z - 2) = 0$$ $$3(x + 1) - 2(y - 3) - 3(z - 2) = 0$$ $$3x + 3 - 2y + 6 - 3z + 6 = 0$$ $$3x - 2y - 3z + 15 = 0$$

[TikZ Diagram: Two parallel planes P1 and P2 with common normal vector n]

---

========

Example 11

Example 11.

Find the equation of the plane tangent to the sphere $[(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = 14]$ at the point $(3, 4, 1)$.

Solution:

စက်လုံးတစ်ခု၏ မျက်နှာပြင်ပေါ်ရှိ ပေးထားသောအမှတ်တစ်ခု၌ ထိနေသော ထိပြင်ညီ (tangent plane) ၏ Normal Vector ($\vec{n}$) သည် စက်လုံး၏ ဗဟိုချက် (Center) နှင့် ထိုထိမှတ် (Point of tangency) ကို ဆက်ထားသော ဗက်တာပင် ဖြစ်သည်။

ပေးထားသော စက်လုံးညီမျှခြင်းအရ:

စက်လုံးဗဟို (Center) $C = (2, 1, -1)$
ထိမှတ် (Tangent point) $P = (3, 4, 1)$

ထို့ကြောင့် ပြင်ညီ၏ Normal Vector $\vec{n}$ ကို ရှာပါမည်:

$$\vec{n} = \vec{CP} = \langle 3 - 2, 4 - 1, 1 - (-1) \rangle = \langle 1, 3, 2 \rangle$$

အမှတ် $P(3, 4, 1)$ ကို ဖြတ်ပြီး Normal Vector $\vec{n} = \langle 1, 3, 2 \rangle$ ရှိသော ထိပြင်ညီ၏ ညီမျှခြင်းမှာ:

$$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$$ $$1(x - 3) + 3(y - 4) + 2(z - 1) = 0$$ $$x - 3 + 3y - 12 + 2z - 2 = 0$$ $$x + 3y + 2z - 17 = 0$$

[TikZ Diagram: Sphere with center C and tangent plane at point P]

---

========

Example 12

Example 12.

Find the equation of the sphere with center $(0, 1, 0)$ and touching the plane $x - 2y + 2z + 5 = 0$.

Solution:

စက်လုံးတစ်ခုသည် ပြင်ညီတစ်ခုကို ထိနေပါက၊ စက်လုံး၏ ဗဟိုချက်မှ ထိုပြင်ညီသို့ ထောင့်မတ်ကျအကွာအဝေး (perpendicular distance) သည် စက်လုံး၏ အချင်းဝက် (Radius, $r$) နှင့် တူညီသည်။

အမှတ် $(x_0, y_0, z_0)$ မှ ပြင်ညီ $Ax + By + Cz + D = 0$ သို့ အကွာအဝေးရှာသော ပုံသေနည်းမှာ:

$$r = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

ပေးထားသော ဗဟိုချက် $(0, 1, 0)$ နှင့် ပြင်ညီ $x - 2y + 2z + 5 = 0$ အရ အချင်းဝက် $r$ ကို ရှာပါမည်:

$$r = \frac{|1(0) - 2(1) + 2(0) + 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}}$$ $$r = \frac{|0 - 2 + 0 + 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1$$

ဗဟိုချက် $(0, 1, 0)$ နှင့် အချင်းဝက် $r = 1$ ရှိသော စက်လုံး၏ ညီမျှခြင်းမှာ:

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2$$ $$(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = 1^2$$ $$x^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 1$$ $$\text{သို့မဟုတ် } x^2 + y^2 - 2y + z^2 = 0$$

[TikZ Diagram: Sphere with center (0,1,0) and radius r=1 touching a plane]

---

========

Example 13

Example 13.

Find the equation of a sphere that passes through the points $(9, 0, 0)$, $(3, 13, 5)$ and $(11, 0, 10)$, given that its center lies on the $yz$-plane.

Solution:

စက်လုံး၏ ဗဟိုချက်သည် $yz$-ပြင်ညီပေါ်တွင် တည်ရှိသောကြောင့် ၎င်း၏ $x$-ကိုဩဒိနိတ်သည် သုည ($0$) ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် စက်လုံးဗဟိုကို $C(0, b, c)$ ဟု သတ်မှတ်နိုင်သည်။

စက်လုံးသည် ပေးထားသော အမှတ် $A(9, 0, 0)$၊ $B(3, 13, 5)$ နှင့် $D(11, 0, 10)$ တို့ကို ဖြတ်သန်းသွားသဖြင့် ဗဟိုချက်မှ ထိုအမှတ်များသို့ အကွာအဝေး (အချင်းဝက်) များသည် အမြဲတူညီကြသည်။

$$CA^2 = CB^2 = CD^2 = r^2$$

အဆင့် (၁) - $CA^2 = CD^2$ ကို သုံး၍ $c$ တန်ဖိုးရှာခြင်း:

$$(9 - 0)^2 + (0 - b)^2 + (0 - c)^2 = (11 - 0)^2 + (0 - b)^2 + (10 - c)^2$$ $$81 + b^2 + c^2 = 121 + b^2 + (100 - 20c + c^2)$$

ဘက်ပုဒ်အလှည့်အပြောင်းလုပ်ပြီး $b^2$ နှင့် $c^2$ တို့ကို ကျေဖျက်လျှင်:

$$81 = 121 + 100 - 20c$$ $$20c = 221 - 81$$ $$20c = 140 \implies c = 7$$

အဆင့် (၂) - $CA^2 = CB^2$ ကို သုံး၍ $b$ တန်ဖိုးရှာခြင်း:

$c = 7$ ကို အသုံးပြု၍ ညီမျှခြင်းချပါမည်:

$$(9 - 0)^2 + (0 - b)^2 + (0 - 7)^2 = (3 - 0)^2 + (13 - b)^2 + (5 - 7)^2$$ $$81 + b^2 + 49 = 9 + (169 - 26b + b^2) + 4$$ $$130 + b^2 = 182 - 26b + b^2$$ $$26b = 182 - 130$$ $$26b = 52 \implies b = 2$$

ထို့ကြောင့် စက်လုံး၏ဗဟိုချက်မှာ $C(0, 2, 7)$ ဖြစ်သည်။

အဆင့် (၃) - အချင်းဝက် $r^2$ နှင့် စက်လုံးညီမျှခြင်းကို ရှာခြင်း:

$C(0, 2, 7)$ ကို $CA^2$ တွင် အစားသွင်းခြင်းဖြင့်:

$$r^2 = (9 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 7)^2$$ $$r^2 = 81 + 4 + 49 = 134$$

စက်လုံး၏ စံပုံစံညီမျှခြင်းမှာ:

$$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - 7)^2 = 134$$ $$x^2 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 14z + 49 = 134$$ $$x^2 + y^2 + z^2 - 4y - 14z - 81 = 0$$