G12 Chapter 2: Examples

Example 1

Example 1

သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမ (Mathematical Induction) ကိုသုံး၍ သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

Detail Proof:

သက်သေပြချက်။
ပေးထားသော အဆိုပြုချက်ကို $P(n)$ ဟု ထားပါစို့။
$P(n): 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$

အဆင့် (၁) အခြေခံအဆင့် (Base Step):
$n = 1$ ဖြစ်သည့်အခါ မှန်ကန်မှုကို စစ်ဆေးပါမည်။
ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) $= 2(1) - 1 = 1$
ညာဘက်ခြမ်း (RHS) $= 1^2 = 1$
LHS = RHS ဖြစ်သောကြောင့် $P(1)$ သည် မှန်ကန်ပါသည်။

အဆင့် (၂) ယူဆချက်အဆင့် (Inductive Step):
$n = k$ အတွက် $P(k)$ သည် မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ (ဒီနေရာတွင် $k$ သည် သဘာဝကိန်းဖြစ်ပြီး $0 \lt k$ ဖြစ်သည်)
ထို့ကြောင့် $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = k^2$ --- (ညီမျှခြင်း ၁)

ကျွန်ုပ်တို့သည် $n = k + 1$ အတွက်လည်း $P(k + 1)$ မှန်ကန်ကြောင်း ဆက်လက်သက်သေပြရပါမည်။
ဆိုလိုသည်မှာ $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1] = (k + 1)^2$ ဖြစ်ကြောင်း ပြသရမည်။

ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) ကို တွက်ချက်ပါမည်။
LHS $= 1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) + (2k + 2 - 1)$
ညီမျှခြင်း (၁) အရ $1 + 3 + 5 + \dots + (2k - 1) = k^2$ ကို အစားသွင်းလျှင် -
LHS $= k^2 + (2k + 1)$
LHS $= k^2 + 2k + 1$

algebraic ပုံသေနည်းအရ $k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2$ ဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် LHS $= (k + 1)^2 =$ ညာဘက်ခြမ်း (RHS)

ထို့ကြောင့် $P(k)$ မှန်ကန်လျှင် $P(k + 1)$ သည်လည်း မှန်ကန်ပါသည်။

နိဂုံးချုပ်။
သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမအရ ပေးထားသော အဆိုပြုချက် $1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2$ သည် သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်ပါသည်။

======================

Example 2

Example 2

သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမ (Mathematical Induction) ကိုသုံး၍ သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

Detail Proof:

သက်သေပြချက်။
ပေးထားသော အဆိုပြုချက်ကို $P(n)$ ဟု ထားပါစို့။
$P(n): 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

အဆင့် (၁) အခြေခံအဆင့် (Base Step):
$n = 1$ ဖြစ်သည့်အခါ မှန်ကန်မှုကို စစ်ဆေးပါမည်။
ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) $= 1$
ညာဘက်ခြမ်း (RHS) $= \frac{1(1 + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
LHS = RHS ဖြစ်သောကြောင့် $P(1)$ သည် မှန်ကန်ပါသည်။

အဆင့် (၂) ယူဆချက်အဆင့် (Inductive Step):
$n = k$ အတွက် $P(k)$ သည် မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ (ဒီနေရာတွင် $k$ သည် သဘာဝကိန်းဖြစ်ပြီး $0 \lt k$ ဖြစ်သည်)
ထို့ကြောင့် $1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k + 1)}{2}$ --- (ညီမျှခြင်း ၁)

ကျွန်ုပ်တို့သည် $n = k + 1$ အတွက်လည်း $P(k + 1)$ မှန်ကန်ကြောင်း ဆက်လက်သက်သေပြရပါမည်။
ဆိုလိုသည်မှာ $1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1) = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$ ဖြစ်ကြောင်း ပြသရမည်။

ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) ကို တွက်ချက်ပါမည်။
LHS $= 1 + 2 + 3 + \dots + k + (k + 1)$
ညီမျှခြင်း (၁) အရ $1 + 2 + 3 + \dots + k = \frac{k(k + 1)}{2}$ ကို အစားသွင်းလျှင် -
LHS $= \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1)$

ဘုံပိုင်းခြေ ၂ ရှာ၍ ပေါင်းပါမည်။
LHS $= \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2}$
ဘုံကိန်းခွဲ $(k + 1)$ ကို ထုတ်လိုက်လျှင် -
LHS $= \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}$

ထို့ကြောင့် LHS $=$ ညာဘက်ခြမ်း (RHS)

ထို့ကြောင့် $P(k)$ မှန်ကန်လျှင် $P(k + 1)$ သည်လည်း မှန်ကန်ပါသည်။

နိဂုံးချုပ်။
သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမအရ ပေးထားသော အဆိုပြုချက် $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$ သည် သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်ပါသည်။

===============================

Example 3

Example 3

သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမ (Mathematical Induction) ကိုသုံး၍ သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် $3^n - 1$ သည် $2$ ၏ ဆပွားကိန်း ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

Detail Proof:

သက်သေပြချက်။
ပေးထားသော အဆိုပြုချက်ကို $P(n)$ ဟု ထားပါစို့။
$P(n): 3^n - 1 = 2m$ (ဒီနေရာတွင် $m$ သည် ကိန်းပြည့်တစ်ခုဖြစ်သည်)

အဆင့် (၁) အခြေခံအဆင့် (Base Step):
$n = 1$ ဖြစ်သည့်အခါ မှန်ကန်မှုကို စစ်ဆေးပါမည်။
$3^1 - 1 = 3 - 1 = 2$
$2$ သည် $2$ ၏ ဆပွားကိန်းဖြစ်သောကြောင့် ($2 = 2 \times 1$) $P(1)$ သည် မှန်ကန်ပါသည်။

အဆင့် (၂) ယူဆချက်အဆင့် (Inductive Step):
$n = k$ အတွက် $P(k)$ သည် မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ (ဒီနေရာတွင် $k$ သည် သဘာဝကိန်းဖြစ်ပြီး $0 \lt k$ ဖြစ်သည်)
ထို့ကြောင့် $3^k - 1 = 2m \implies 3^k = 2m + 1$ --- (ညီမျှခြင်း ၁)

ကျွန်ုပ်တို့သည် $n = k + 1$ အတွက်လည်း $P(k + 1)$ မှန်ကန်ကြောင်း ဆက်လက်သက်သေပြရပါမည်။
ဆိုလိုသည်မှာ $3^{k+1} - 1$ သည် $2$ ၏ ဆပွားကိန်းဖြစ်ကြောင်း ပြသရမည်။

$3^{k+1} - 1$ ကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲေဝတွက်ချက်ပါမည်။
$3^{k+1} - 1 = 3^k \cdot 3 - 1$
ညီမျှခြင်း (၁) အရ $3^k = 2m + 1$ ကို အစားသွင်းလျှင် -
$3^{k+1} - 1 = (2m + 1) \cdot 3 - 1$
$3^{k+1} - 1 = 6m + 3 - 1$
$3^{k+1} - 1 = 6m + 2$

ဘုံကိန်းခွဲ $2$ ကို ထုတ်လိုက်လျှင် -
$3^{k+1} - 1 = 2(3m + 1)$

ဒီနေရာတွင် $m$ သည် ကိန်းပြည့်ဖြစ်သောကြောင့် $(3m + 1)$ သည်လည်း ကိန်းပြည့်ဖြစ်ပြီး $2(3m + 1)$ သည် $2$ ၏ ဆပွားကိန်း ဖြစ်လာသည်။

ထို့ကြောင့် $P(k)$ မှန်ကန်လျှင် $P(k + 1)$ သည်လည်း မှန်ကန်ပါသည်။

နိဂုံးချုပ်။
သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမအရ ပေးထားသော အဆိုပြုချက် $3^n - 1$ သည် သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် $2$ ၏ ဆပွားကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်ပါသည်။

==============================

Example 4

Example 4

Example 4.

သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမ (Mathematical Induction) ကိုသုံး၍ သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် $(ab)^n = a^n b^n$ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

Detail Proof:

သက်သေပြချက်။
ပေးထားသော အဆိုပြုချက်ကို $P(n)$ ဟု ထားပါစို့။
$P(n): (ab)^n = a^n b^n$

အဆင့် (၁) အခြေခံအဆင့် (Base Step):
$n = 1$ ဖြစ်သည့်အခါ မှန်ကန်မှုကို စစ်ဆေးပါမည်။
ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) $= (ab)^1 = ab$
ညာဘက်ခြမ်း (RHS) $= a^1 b^1 = ab$
LHS = RHS ဖြစ်သောကြောင့် $P(1)$ သည် မှန်ကန်ပါသည်။

အဆင့် (၂) ယူဆချက်အဆင့် (Inductive Step):
$n = k$ အတွက် $P(k)$ သည် မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ (ဒီနေရာတွင် $k$ သည် သဘာဝကိန်းဖြစ်ပြီး $0 \lt k$ ဖြစ်သည်)
ထို့ကြောင့် $(ab)^k = a^k b^k$ --- (ညီမျှခြင်း ၁)

ကျွန်ုပ်တို့သည် $n = k + 1$ အတွက်လည်း $P(k + 1)$ မှန်ကန်ကြောင်း ဆက်လက်သက်သေပြရပါမည်။
ဆိုလိုသည်မှာ $(ab)^{k+1} = a^{k+1} b^{k+1}$ ဖြစ်ကြောင်း ပြသရမည်။

ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) ကို တွက်ချက်ပါမည်။
LHS $= (ab)^{k+1}$
指数 (exponent) နိယာမအရခွဲလိုက်လျှင် -
LHS $= (ab)^k \cdot (ab)$
ညီမျှခြင်း (၁) အရ $(ab)^k = a^k b^k$ ကို အစားသွင်းလျှင် -
LHS $= (a^k b^k) \cdot (ab)$

ဖလှယ်ရနိယာမ (Commutative Law) နှင့် ပေါင်းစပ်ရနိယာမ (Associative Law) တို့အရ ကိန်းများကို ပြန်လည်နေရာချထားပါမည်။
LHS $= (a^k \cdot a) \cdot (b^k \cdot b)$
LHS $= a^{k+1} b^{k+1}$

ထို့ကြောင့် LHS $=$ ညာဘက်ခြမ်း (RHS)

ထို့ကြောင့် $P(k)$ မှန်ကန်လျှင် $P(k + 1)$ သည်လည်း မှန်ကန်ပါသည်။

နိဂုံးချုပ်။
သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမအရ ပေးထားသော အဆိုပြုချက် $(ab)^n = a^n b^n$ သည် သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်ပါသည်။

========================

Example 5

Example 5

သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမ (Mathematical Induction) ကိုသုံး၍ သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် $1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^n = \frac{(2n - 1)3^{n+1} + 3}{4}$ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

Detail Proof:

သက်သေပြချက်။
ပေးထားသော အဆိုပြုချက်ကို $P(n)$ ဟု ထားပါစို့။
$P(n): 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^n = \frac{(2n - 1)3^{n+1} + 3}{4}$

အဆင့် (၁) အခြေခံအဆင့် (Base Step):
$n = 1$ ဖြစ်သည့်အခါ မှန်ကန်မှုကို စစ်ဆေးပါမည်။
ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) $= 1 \cdot 3 = 3$
ညာဘက်ခြမ်း (RHS) $= \frac{(2(1) - 1)3^{1+1} + 3}{4} = \frac{(1)3^2 + 3}{4} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
LHS = RHS ဖြစ်သောကြောင့် $P(1)$ သည် မှန်ကန်ပါသည်။

အဆင့် (၂) ယူဆချက်အဆင့် (Inductive Step):
$n = k$ အတွက် $P(k)$ သည် မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ (ဒီနေရာတွင် $k$ သည် သဘာဝကိန်းဖြစ်ပြီး $0 \lt k$ ဖြစ်သည်)
ထို့ကြောင့် $1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + k \cdot 3^k = \frac{(2k - 1)3^{k+1} + 3}{4}$ --- (ညီမျှခြင်း ၁)

ကျွန်ုပ်တို့သည် $n = k + 1$ အတွက်လည်း $P(k + 1)$ မှန်ကန်ကြောင်း ဆက်လက်သက်သေပြရပါမည်။
ဆိုလိုသည်မှာ $1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \dots + k \cdot 3^k + (k + 1)3^{k+1} = \frac{(2k + 1)3^{k+2} + 3}{4}$ ဖြစ်ကြောင်း ပြသရမည်။

ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) ကို တွက်ချက်ပါမည်။
LHS $= 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + k \cdot 3^k + (k + 1)3^{k+1}$
ညီမျှခြင်း (၁) အရ အစားသွင်းလျှင် -
LHS $= \frac{(2k - 1)3^{k+1} + 3}{4} + (k + 1)3^{k+1}$

ဘုံပိုင်းခြေ ၄ ရှာ၍ ပေါင်းပါမည်။
LHS $= \frac{(2k - 1)3^{k+1} + 3 + 4(k + 1)3^{k+1}}{4}$
$3^{k+1}$ ပါဝင်သော ကိန်းများကို စုစည်းပါမည်။
LHS $= \frac{[(2k - 1) + 4(k + 1)]3^{k+1} + 3}{4}$
LHS $= \frac{[2k - 1 + 4k + 4]3^{k+1} + 3}{4}$
LHS $= \frac{[6k + 3]3^{k+1} + 3}{4}$

ကွင်းထဲမှ ဘုံကိန်းခွဲ ၃ ကို ထုတ်လိုက်လျှင် -
LHS $= \frac{3(2k + 1)3^{k+1} + 3}{4}$
指數 (exponent) နိယာမအရ $3 \cdot 3^{k+1} = 3^{k+2}$ ဖြစ်သောကြောင့် -
LHS $= \frac{(2k + 1)3^{k+2} + 3}{4}$

ထို့ကြောင့် LHS $=$ ညာဘက်ခြမ်း (RHS)

ထို့ကြောင့် $P(k)$ မှန်ကန်လျှင် $P(k + 1)$ သည်လည်း မှန်ကန်ပါသည်။

နိဂုံးချုပ်။
သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမအရ ပေးထားသော အဆိုပြုချက်သည် သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်ပါသည်။

==============================

Example 6

Example 6

သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမ (Mathematical Induction) ကိုသုံး၍ သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် $a - b$ သည် $a^n - b^n$ ၏ ဆခွဲကိန်းတစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

Detail Proof:

သက်သေပြချက်။
ပေးထားသော အဆိုပြုချက်ကို $P(n)$ ဟု ထားပါစို့။
$P(n): a^n - b^n = (a - b)Q$ (ဒီနေရာတွင် $Q$ သည် ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်)

အဆင့် (၁) အခြေခံအဆင့် (Base Step):
$n = 1$ ဖြစ်သည့်အခါ မှန်ကန်မှုကို စစ်ဆေးပါမည်။
$a^1 - b^1 = a - b$
$a - b$ သည် မိမိကိုယ်တိုင်၏ ဆခွဲကိန်းဖြစ်သောကြောင့် ($a - b = (a - b) \cdot 1$) $P(1)$ သည် မှန်ကန်ပါသည်။

အဆင့် (၂) ယူဆချက်အဆင့် (Inductive Step):
$n = k$ အတွက် $P(k)$ သည် မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါစို့။ (ဒီနေရာတွင် $k$ သည် သဘာဝကိန်းဖြစ်ပြီး $0 \lt k$ ဖြစ်သည်)
ထို့ကြောင့် $a^k - b^k = (a - b)Q \implies a^k = (a - b)Q + b^k$ --- (ညီမျှခြင်း ၁)

ကျွန်ုပ်တို့သည် $n = k + 1$ အတွက်လည်း $P(k + 1)$ မှန်ကန်ကြောင်း ဆက်လက်သက်သေပြရပါမည်။
ဆိုလိုသည်မှာ $a^{k+1} - b^{k+1}$ တွင် $a - b$ ဆခွဲကိန်း ပါဝင်ကြောင်း ပြသရမည်။

$a^{k+1} - b^{k+1}$ ကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲေဝတွက်ချက်ပါမည်။
$a^{k+1} - b^{k+1} = a^k \cdot a - b^{k+1}$
ညီမျှခြင်း (၁) အရ $a^k = (a - b)Q + b^k$ ကို အစားသွင်းလျှင် -
$a^{k+1} - b^{k+1} = [(a - b)Q + b^k] \cdot a - b^{k+1}$
$a^{k+1} - b^{k+1} = (a - b)Q \cdot a + a \cdot b^k - b \cdot b^k$

နောက်ဆုံးကိန်းနှစ်ခုမှ ဘုံကိန်းခွဲ $b^k$ ကို ထုတ်လိုက်လျှင် -
$a^{k+1} - b^{k+1} = (a - b)Q \cdot a + (a - b)b^k$

ယခု အသုံးအနှုန်းတစ်ခုလုံးမှ ဘုံကိန်းခွဲ $(a - b)$ ကို ထုတ်ယူပါမည်။
$a^{k+1} - b^{k+1} = (a - b)[Q \cdot a + b^k]$

ဒီနေရာတွင် $[Q \cdot a + b^k]$ သည် ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သောကြောင့် $a^{k+1} - b^{k+1}$ သည် $a - b$ ဖြင့် စား၍ပြတ်ပြီး ဆခွဲကိန်းဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။

ထို့ကြောင့် $P(k)$ မှန်ကန်လျှင် $P(k + 1)$ သည်လည်း မှန်ကန်ပါသည်။

နိဂုံးချုပ်။
သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမအရ ပေးထားသော အဆိုပြုချက် $a - b$ သည် သဘာဝကိန်း $n$ အားလုံးအတွက် $a^n - b^n$ ၏ ဆခွဲကိန်းဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်ပါသည်။

========================

Example 7

Example 7

သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမ (Mathematical Induction) ကိုသုံး၍ သဘာဝကိန်း $n \geq 5$ အားလုံးအတွက် $4n \lt 2^n$ ဖြစ်ကြောင်း သက်သေပြပါ။

Detail Proof:

သက်သေပြချက်။
ပေးထားသော အဆိုပြုချက်ကို $P(n)$ ဟု ထားပါစို့။
$P(n): 4n \lt 2^n$ (ဒီနေရာတွင် $n \geq 5$ ဖြစ်သည်)

အဆင့် (၁) အခြေခံအဆင့် (Base Step):
အငယ်ဆုံးကိန်း $n = 5$ ဖြစ်သည့်အခါ မှန်ကန်မှုကို စစ်ဆေးပါမည်။
ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) $= 4(5) = 20$
ညာဘက်ခြမ်း (RHS) $= 2^5 = 32$
$20 \lt 32$ ဖြစ်သောကြောင့် LHS $\lt$ RHS ဖြစ်သဖြင့် $P(5)$ သည် မှန်ကန်ပါသည်။

အဆင့် (၂) ယူဆချက်အဆင့် (Inductive Step):
$n = k$ (ဒီနေရာတွင် $k \geq 5$) အတွက် $P(k)$ သည် မှန်ကန်သည်ဟု ယူဆပါစို့။
ထို့ကြောင့် $4k \lt 2^k$ --- (ညီမျှခြင်း ၁)

ကျွန်ုပ်တို့သည် $n = k + 1$ အတွက်လည်း $P(k + 1)$ မှန်ကန်ကြောင်း ဆက်လက်သက်သေပြရပါမည်။
ဆိုလိုသည်မှာ $4(k + 1) \lt 2^{k+1}$ ဖြစ်ကြောင်း ပြသရမည်။

ဘယ်ဘက်ခြမ်း (LHS) ကို တွက်ချက်ပါမည်။
LHS $= 4(k + 1) = 4k + 4$

ညီမျှခြင်း (၁) အရ $4k \lt 2^k$ ဖြစ်သောကြောင့် အောက်ပါအတိုင်း ရေးနိုင်သည်-
$4k + 4 \lt 2^k + 4$ --- (အသုံးအနှုန်း ၂)

ကျွန်ုပ်တို့သိသည်မှာ $k \geq 5$ ဖြစ်သောကြောင့် $4 \lt 4k$ ဖြစ်ပြီး ယူဆချက်အရ $4k \lt 2^k$ ဖြစ်သဖြင့် $4 \lt 2^k$ ဖြစ်လာသည်။
ထို့ကြောင့် (အသုံးအနှုန်း ၂) ကို ဆက်လက်ရှင်းလင်းလျှင်:
$4k + 4 \lt 2^k + 4 \lt 2^k + 2^k$
$4(k + 1) \lt 2 \cdot 2^k$
$4(k + 1) \lt 2^{k+1}$

ထို့ကြောင့် LHS $\lt$ ညာဘက်ခြမ်း (RHS)

ထို့ကြောင့် $P(k)$ မှန်ကန်လျှင် $P(k + 1)$ သည်လည်း မှန်ကန်ပါသည်။

နိဂုံးချုပ်။
သင်္ချာနည်းဖြင့် အညွှန်းလှည့်သက်သေပြခြင်းနိယာမအရ ပေးထားသော အဆိုပြုချက် $4n \lt 2^n$ သည် သဘာဝကိန်း $n \geq 5$ အားလုံးအတွက် မှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်ပါသည်။