G12 Chapter 1: Examples

==========================

Example 1

Example 1

Solve $x^2+2x+5=0.$

ထပ်ကိန်းပြည့်ပုံစံပြောင်းနည်း (Completing the Square) ဖြင့် တွက်ချက်ခြင်း

ပေးထားသော ပုစ္ဆာမှာ $x^2+2x+5=0$

---

အဆင့် (၁) ကိန်းသေကို ညာဘက်သို့ရွှေ့ခြင်း
ကိန်းသေ $+5$ ကို ညီမျှခြင်း၏ ညာဘက်သို့ ရွှေ့ပါမည်။
\[x^2+2x=-5\]

အဆင့် (၂) နှစ်ဖက်စလုံးတွင် လိုအပ်သောကိန်း ပေါင်းထည့်ခြင်း
x ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းဖြစ်သော 2 ၏ တစ်ဝက်ကို နှစ်ထပ်တင်ပါမည်။ \[\left(\frac{2}{2}\right)^2=1\] ကို နှစ်ဖက်စလုံးတွင် ပေါင်းပါမည်။
\[x^2+2x+1=-5+1\]

အဆင့် (၃) ထပ်ကိန်းပြည့်ပုံစံဖွဲ့ခြင်း
ဝဲဘက်အခြမ်းကို ထပ်ကိန်းပြည့်ပုံစံ ပြောင်းလဲပြီး ယာဘက်အခြမ်းကို ရှင်းလင်းပါမည်။
\[(x+1)^2=-4=4i^2\]

အဆင့် (၄) နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းရှာခြင်း
နှစ်ဖက်စလုံးကို နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square Root) သွင်းပါမည်။
\[x+1=\pm 2i\]

အဆင့် (၅) နောက်ဆုံးအဖြေထုတ်ခြင်း
+1 ကို ညာဘက်သို့ ရွှေ့လိုက်ပါက ညီမျှခြင်း၏ ကွန်ပလက္စ်ကိန်းအဖြေများကို ရရှိပါမည်။
\[x=-1\pm 2i\]

---

နောက်ဆုံးရလဒ် (Final Answer)

• $x_1=-1+2i$
• $x_1=-1-2i$

===============================

ဒုတိယထပ်ကိန်းမြှောက်ညီမျှခြင်း ရှင်းလင်းချက်

ပေးထားသော ပုစ္ဆာမှာ: x² + 2x + 5 = 0

---

တွက်ချက်မှု အဆင့်ဆင့်

အဆင့် (၁) မြှောက်ဖော်ကိန်းများကို ရှာဖွေခြင်း
ဒုတိယထပ်ကိန်းမြှောက်ညီမျှခြင်း၏ အထွေထွေပုံစံ $ax^2+bx+c=0$ နှင့် နှိုင်းယှဉ်လျှင် အောက်ပါအတိုင်း ရရှိပါသည်။
$a-1,b=2,c=5$

အဆင့် (၂) ပိုင်းခြားကိန်း (Discriminant) ကို စစ်ဆေးခြင်း
ပိုင်းခြားကိန်း ပုံသေနည်း $D=b^2-4ac$ တွင် အစားသွင်းပါက:
\[D=2^2-4(1)(5)=-16\] ဒီနေရာတွင် ပိုင်းခြားကိန်းသည် အနုတ်ကိန်း (D < 0) ဖြစ်သောကြောင့် ဤညီမျှခြင်းတွင် ကิန်းစစ်အဖြေ (Real Roots) မရှိဘဲ စိတ်ကူးယဉ်ကိန်း သို့မဟုတ် ကွန်ပလက္စ်ကိန်းအဖြေ (Complex Roots) များသာ ရှိမည် ဖြစ်သည်။ (Since $i^2=-1, D=16i^2.$)

အဆင့် (၃) ပုံသေနည်းတွင် အစားသွင်းတွက်ချက်ခြင်း
Quadratic Formula ကို အသုံးပြုပါမည်:

x = [ −b ± √(b² − 4ac) ] / 2a

တန်ဖိုးများကို အစားသွင်းလျှင်:

x = [ −2 ± i√16 ] / 2(1)

အဆင့် (၄) ရှင်းလင်းခြင်း (Simplification)
$i\sqrt{16}=4i$ ဟု ပြောင်းလဲနိုင်သောကြောင့်:
\[x=\frac{-2\pm 4i}{2}\] ပိုင်းဝေမှ 2 ကို ပုံသေထုတ်၍ ပိုင်းခြေနှင့် ချေဖျက်ပါမည်:
\[x=-1\pm 2i\]

---

နောက်ဆုံးရလဒ် (Final Answer)

ညီမျှခြင်း၏ အဖြေ (ကွန်ပလက္စ်ကိန်းအဖြေ နှစ်ခု) မှာ:

\[x_1=-1+2i,x_2=-1-2i\]

=======================

Example 2

Example 2

Solve $x^2 + 2x + 3 = 0 $ and check your answers.

ထပ်ကိန်းပြည့်ပုံစံပြောင်းနည်း (Completing the Square) ဖြင့် တွက်ချက်ခြင်း

ပေးထားသော ပုစ္ဆာမှာ \[x^2+2x+3=0\]

---

အဆင့် (၁) ကိန်းသေကို ညာဘက်သို့ရွှေ့ခြင်း
ကိန်းသေ +3 ကို ညီမျှခြင်း၏ ညာဘက်သို့ ရွှေ့ပါမည်။
\[x^2+2x=-3\]

အဆင့် (၂) နှစ်ဖက်စလုံးတွင် လိုအပ်သောကိန်း ပေါင်းထည့်ခြင်း
x ၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းဖြစ်သော 2 ၏ တစ်ဝက်ကို နှစ်ထပ်တင်ပါမည်။ \[\left(\frac{2}{2}\right)^2=1\] ကို နှစ်ဖက်စလုံးတွင် ပေါင်းပါမည်။
\[x^2+2x+1=-3+1=-2=2i^2\]

အဆင့် (၃) ထပ်ကိန်းပြည့်ပုံစံဖွဲ့ခြင်း
ဝဲဘက်အခြမ်းကို ထပ်ကိန်းပြည့်ပုံစံ ပြောင်းလဲပြီး ယာဘက်အခြမ်းကို ရှင်းလင်းပါမည်။
\[(x+1)^2=2i^2\] \[x+1=\pm i\sqrt 2\]

အဆင့် (၄) နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းရှာခြင်း
နှစ်ဖက်စလုံးကို နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (Square Root) သွင်းပါမည်။
\[x=-2\pm 2i\] အဆင့် (၅) နောက်ဆုံးအဖြေထုတ်ခြင်း
+1 ကို ညာဘက်သို့ ရွှေ့လိုက်ပါက ညီမျှခြင်း၏ ကွန်ပလက္စ်ကိန်းအဖြေများကို ရရှိပါမည်။

x = −1 ± √2i

---

နောက်ဆုံးရလဒ် (Final Answer)

\[x_1=-1+\sqrt 2i,x_2=-1-\sqrt{2}i\]

---

၂။ အဖြေပြန်တိုက်ခြင်း (Verification)

အဖြေ (၁) x = −1 + √2i အတွက်စစ်ဆေးခြင်း:
မူလညီမျှခြင်း x² + 2x + 3 = 0 ၏ ဘယ်ဘက်ခြမ်းတွင် အစားသွင်းပါမည်။
\[ \begin{align*} x^2 + 2x + 3 &= (-1 + \sqrt{2}i)^2 + 2(-1 + \sqrt{2}i) + 3 \\ &= \left(1 - 2\sqrt{2}i + 2i^2\right) + \left(-2 + 2\sqrt{2}i\right) + 3 \\ &= 1 - 2\sqrt{2}i + 2(-1) - 2 + 2\sqrt{2}i + 3 \\ &= 1 - 2\sqrt{2}i - 2 - 2 + 2\sqrt{2}i + 3 \\ &= (1 - 2 - 2 + 3) + (-2\sqrt{2}i + 2\sqrt{2}i) \\ &= 0 \end{align*}\](မှန်ကန်ပါသည်) အဖြေ (၂) x = −1 − √2i အတွက်စစ်ဆေးခြင်း:
\[\begin{align*} x^2 + 2x + 3 &= (-1 - \sqrt{2}i)^2 + 2(-1 - \sqrt{2}i) + 3 \\ &= \left(1 + 2\sqrt{2}i + 2i^2\right) + \left(-2 - 2\sqrt{2}i\right) + 3 \\ &= 1 + 2\sqrt{2}i + 2(-1) - 2 - 2\sqrt{2}i + 3 \\ &= 1 + 2\sqrt{2}i - 2 - 2 - 2\sqrt{2}i + 3 \\ &= (1 - 2 - 2 + 3) + (2\sqrt{2}i - 2\sqrt{2}i) \\ &= 0 \end{align*}\](မှန်ကန်ပါသည်)

=============================

Example 3

Example 3

Compute $(-2, 3)(1, -2) + (1, 1)(0, 1)$.$

တွက်ချက်နည်း အဆင့်ဆင့် (Detailed Solution)

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ (Complex Numbers) မြှောက်ခြင်းနှင့် ပေါင်းခြင်း နည်းဥပဒေသများကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်ပါမည်။

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်စုံ $(a, b)$ ကို $a + bi$ ဟု သတ်မှတ်နိုင်ပြီး မြှောက်ခြင်း ပုံသေနည်းမှာ:
$(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$

ပထမပိုင်းကို အရင်မြှောက်ပါမည်: $(-2, 3)(1, -2)$
ဒီနေရာတွင် $a = -2, b = 3, c = 1, d = -2$ ဖြစ်သည်။
$ac - bd = (-2)(1) - (3)(-2) = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4$
$ad + bc = (-2)(-2) + (3)(1) = 4 + 3 = 7$
ထို့ကြောင့် $(-2, 3)(1, -2) = (4, 7)$ ဖြစ်သည်။

ဒုတိယပိုင်းကို မြှောက်ပါမည်: $(1, 1)(0, 1)$
ဒီနေရာတွင် $a = 1, b = 1, c = 0, d = 1$ ဖြစ်သည်။
$ac - bd = (1)(0) - (1)(1) = 0 - 1 = -1$
$ad + bc = (1)(1) + (1)(0) = 1 + 0 = 1$
ထို့ကြောင့် $(1, 1)(0, 1) = (-1, 1)$ ဖြစ်သည်။

ယခု ရလဒ်နှစ်ခုကို ပေါင်းပါမည်:
$(-2, 3)(1, -2) + (1, 1)(0, 1) = (4, 7) + (-1, 1)$

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ ပေါင်းခြင်း ပုံသေနည်းအရ $(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ ဖြစ်သဖြင့်:
$(4 + (-1), 7 + 1) = (3, 8)$

အဖြေ: $(3, 8)$

==================================

Example 4

Example 4

Calculate $\frac{2 + 3i}{3 + i}$

တွက်ချက်နည်း အဆင့်ဆင့် (Detailed Solution)

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းနှစ်ခု စားခြင်း (Division of Complex Numbers) ကို တွက်ချက်ရန်အတွက် ပိုင်းခြေ (Denominator) တွင်ရှိသော $3 + i$ ၏ ကွန်ပလက်စ်ပူးတွဲကိန်း (Complex Conjugate) ဖြစ်သည့် $3 - i$ ဖြင့် ပိုင်းဝေနှင့် ပိုင်းခြေ နှစ်ခုစလုံးကို မြှောက်ပေးရပါမည်။

ရရှိလာမည့် ပုံသေနည်းမှာ:
$\frac{2 + 3i}{3 + i} = \frac{(2 + 3i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)}$

အဆင့် (၁) - ပိုင်းခြေကို မြှောက်ခြင်း:
$(3 + i)(3 - i) = 3^2 - i^2$
$i^2 = -1$ ဖြစ်သောကြောင့်:
$3^2 - (-1) = 9 + 1 = 10$

အဆင့် (၂) - ပိုင်းဝေကို မြှောက်ခြင်း:
$(2 + 3i)(3 - i) = 2(3) - 2(i) + 3i(3) - 3i(i)$
$= 6 - 2i + 9i - 3i^2$
$i^2 = -1$ ကို အစားသွင်းပါက:
$= 6 + 7i - 3(-1)$
$= 6 + 7i + 3$
$= 9 + 7i$

အဆင့် (၃) - ရလဒ်များကို ပြန်လည်ပေါင်းစပ်ခြင်း:
$\frac{9 + 7i}{10} = \frac{9}{10} + \frac{7}{10}i$

ထို့ကြောင့် စံပုံစံ $a + bi$ အရ အဖြေမှာ $\frac{9}{10} + \frac{7}{10}i$ သို့မဟုတ် စုံတွဲပုံစံဖြင့် $(\frac{9}{10}, \frac{7}{10})$ ဖြစ်သည်။

အဖြေ: $\frac{9}{10} + \frac{7}{10}i$

===============================

Example 5

Example 5

Find the trigonometric form with $-\pi \lt \theta \leq \pi$ for the complex number $z = -1 - i$.

တွက်ချက်နည်း အဆင့်ဆင့် (Detailed Solution)

ကွန်ပလက်စ်ကိန်း $z = a + bi$ တစ်ခု၏ တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံ (Trigonometric form) မှာ:
$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$
ဖြစ်ပြီး $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ နှင့် $\tan \theta = \frac{b}{a}$ ဖြစ်သည်။

ဤပုစ္ဆာတွင် $z = -1 - i$ ဖြစ်သောကြောင့် $a = -1$, $b = -1$ ဖြစ်သည်။

အဆင့် (၁) - မိုဂျူးလပ် (Modulus) $r$ ကို ရှာခြင်း:
$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

အဆင့် (၂) - အာဂူးမန့် (Argument) $\theta$ ကို ရှာခြင်း:
$\tan \theta = \frac{-1}{-1} = 1$
$\tan \theta = 1$ ဖြစ်သော အခြေခံထောင့် (Reference angle) မှာ $\alpha = \frac{\pi}{4}$ ဖြစ်သည်။

$a = -1$ (အနုတ်) နှင့် $b = -1$ (အနုတ်) ဖြစ်သောကြောင့် ကွန်ပလက်စ်ကိန်းသည် တတိယရပ်ဝန်း (Third Quadrant) တွင် တည်ရှိသည်။

သတ်မှတ်ချက်အရ အာဂူးမန့်သည် $-\pi \lt \theta \leq \pi$ ဖြစ်ရမည်ဖြစ်သောကြောင့် တတိယရပ်ဝန်းရှိ ထောင့်အတွက် ပုံသေနည်းမှာ:
$\theta = \alpha - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$
(ဤတန်ဖိုးသည် $-\pi \lt -\frac{3\pi}{4} \leq \pi$ အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိပါသည်။)

အဆင့် (၃) - တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံသို့ ပြောင်းလဲခြင်း:
$z = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

အဖြေ: $\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

==============

Example 6

Example 6

Given that $z_1 = 1 + \sqrt{3}i$, $z_2 = -1 + i$, find $z_1 z_2$ by using trigonometric forms. Check your answer by direct multiplication.

တွက်ချက်နည်း အဆင့်ဆင့် (Detailed Solution)

အပိုင်း (၁) - တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံများ (Trigonometric forms) အသုံးပြု၍ ရှာခြင်း

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု၏ တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံမှာ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ဖြစ်သည်။

(က) $z_1 = 1 + \sqrt{3}i$ အတွက်:
$r_1 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
$\tan \theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ ဖြစ်ပြီး $z_1$ သည် ပထမရပ်ဝန်း (First Quadrant) တွင်ရှိသောကြောင့်:
$\theta_1 = \frac{\pi}{3}$
ထို့ကြောင့် $z_1 = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)$

(ခ) $z_2 = -1 + i$ အတွက်:
$r_2 = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
$\tan \theta_2 = \frac{1}{-1} = -1$ ဖြစ်ပြီး $z_2$ သည် ဒုတိယရပ်ဝန်း (Second Quadrant) တွင်ရှိသောကြောင့်:
$\theta_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
ထို့ကြောင့် $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right)$

(ဂ) $z_1 z_2$ ကို မြှောက်ခြင်း:
တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံများ မြှောက်ခြင်း နည်းဥပဒေသအရ $z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]$ ဖြစ်သည်။
$r_1 r_2 = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi + 9\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$
ထောင့်တန်ဖိုး $\frac{13\pi}{12}$ သည် $\pi$ ထက် ကြီးနေသောကြောင့် $-\pi \lt \theta \leq \pi$ အတိုင်းအတာအတွင်း ရောက်ရန် $\frac{13\pi}{12} - 2\pi = -\frac{11\pi}{12}$ ဟု ပြောင်းလဲနိုင်ပါသည်။
$z_1 z_2 = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{11\pi}{12}\right) + i \sin\left(-\frac{11\pi}{12}\right)\right)$

အပိုင်း (၂) - တိုက်ရိုက်မြှောက်ခြင်း (Direct Multiplication) ဖြင့် စစ်ဆေးခြင်း

$z_1 z_2 = (1 + \sqrt{3}i)(-1 + i)$
$= 1(-1) + 1(i) + (\sqrt{3}i)(-1) + (\sqrt{3}i)(i)$
$= -1 + i - \sqrt{3}i + \sqrt{3}i^2$
$i^2 = -1$ ဖြစ်သောကြောင့်:
$= -1 + i - \sqrt{3}i - \sqrt{3}$
$= (-1 - \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3})i$

(မှတ်ချက်။ ။ တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံမှ ရရှိလာသော အဖြေကို ဖြန့်တွက်လျှင်လည်း ဤတိုက်ရိုက်မြှောက်လဒ်အတိုင်း ထပ်တူရရှိမည် ဖြစ်ပါသည်။)

အဖြေ: $2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{11\pi}{12}\right) + i \sin\left(-\frac{11\pi}{12}\right)\right)$ သို့မဟုတ် $(-1 - \sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3})i$

==============

Example 7

Example 7

Given that $z = -\sqrt{3} - i$, using trigonometric form of $z$, find $z^{-1}$. Check your answer by showing that $z z^{-1} = 1$.

တွက်ချက်နည်း အဆင့်ဆင့် (Detailed Solution)

အပိုင်း (၁) - တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံ (Trigonometric form) သုံး၍ $z^{-1}$ ကို ရှာခြင်း

ကွန်ပလက်စ်ကိန်း $z = a + bi$ ၏ တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံမှာ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ဖြစ်သည်။
ဤပုစ္ဆာတွင် $z = -\sqrt{3} - i$ ဖြစ်သောကြောင့် $a = -\sqrt{3}$ နှင့် $b = -1$ ဖြစ်သည်။

၁။ မိုဂျူးလပ် (Modulus) $r$ ကို ရှာခြင်း:
$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2

၂။ အာဂူးမန့် (Argument) $\theta$ ကို ရှာခြင်း:
$\tan \theta = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\tan$ တန်ဖိုး $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ဖြစ်သော အခြေခံထောင့်မှာ $\alpha = \frac{\pi}{6}$ ဖြစ်သည်။
$a$ သည် အနုတ်၊ $b$ သည် အနုတ် ဖြစ်သောကြောင့် $z$ သည် တတိယရပ်ဝန်း (Third Quadrant) တွင် ရှိသည်။
$-\pi \lt \theta \leq \pi$ သတ်မှတ်ချက်အရ:
$\theta = \alpha - \pi = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$

ထို့ကြောင့် $z$ ၏ တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံမှာ:
$z = 2\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)$

၃။ ပြောင်းပြန်ကိန်း $z^{-1}$ ကို ရှာခြင်း:
ပုံသေနည်းအရ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ဖြစ်လျှင် $z^{-1} = \frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta))$ ဖြစ်သည်။
$z^{-1} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(-\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right) + i \sin\left(-\left(-\frac{5\pi}{6}\right)\right)\right)$
$z^{-1} = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6}\right)$

တန်ဖိုးများကို အစားသွင်းတွက်ချက်ပါက:
$\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ နှင့် $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$ ဖြစ်သဖြင့်
$z^{-1} = \frac{1}{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \left(\frac{1}{2}\right)\right) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i$

အပိုင်း (၂) - $z z^{-1} = 1$ ဖြစ်ကြောင်း တိုက်ရိုက်မြှောက်၍ စစ်ဆေးခြင်း

$z z^{-1} = (-\sqrt{3} - i)\left(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i\right)$
$= (-\sqrt{3})\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + (-\sqrt{3})\left(\frac{1}{4}i\right) + (-i)\left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) + (-i)\left(\frac{1}{4}i\right)$
$= \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i + \frac{\sqrt{3}}{4}i - \frac{1}{4}i^2

အလယ်ကိန်းနှစ်ခုဖြစ်သော $-\frac{\sqrt{3}}{4}i$ နှင့် $+ \frac{\sqrt{3}}{4}i$ သည် ကျေပျက်သွားပြီး $i^2 = -1$ ဖြစ်သောကြောင့်:
$= \frac{3}{4} - \frac{1}{4}(-1)$
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1

မြှောက်လဒ်သည် $1$ ရရှိသဖြင့် အဖြေမှန်ကန်ကြောင်း သက်သေပြပြီး ဖြစ်သည်။

အဖြေ: $z^{-1} = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4}i$

==============

Example 8

Example 8

Given that $z_1 = 1 + \sqrt{3}i$, $z_2 = -1 + i$, find $\dfrac{z_1}{z_2}$ by using trigonometric forms. Check your answer by direct calculation.

တွက်ချက်နည်း အဆင့်ဆင့် (Detailed Solution)

အပိုင်း (၁) - တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံများ (Trigonometric forms) အသုံးပြု၍ ရှာခြင်း

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ၏ တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံမှာ $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ဖြစ်သည်။

(က) $z_1 = 1 + \sqrt{3}i$ အတွက်:
$r_1 = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
$\tan \theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ ဖြစ်ပြီး $z_1$ သည် ပထမရပ်ဝန်း (First Quadrant) တွင်ရှိသောကြောင့်:
$\theta_1 = \frac{\pi}{3}$
ထို့ကြောင့် $z_1 = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)$

(ခ) $z_2 = -1 + i$ အတွက်:
$r_2 = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
$\tan \theta_2 = \frac{1}{-1} = -1$ ဖြစ်ပြီး $z_2$ သည် ဒုတိယရပ်ဝန်း (Second Quadrant) တွင်ရှိသောကြောင့်:
$\theta_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
ထို့ကြောင့် $z_2 = \sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4}\right)$

(ဂ) $\dfrac{z_1}{z_2}$ ကို စားခြင်း:
တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံများ စားခြင်း နည်းဥပဒေသအရ $\dfrac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]$ ဖြစ်သည်။
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi - 9\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}$
(ဤထောင့်တန်ဖိုးသည် $-\pi \lt -\frac{5\pi}{12} \leq \pi$ အတိုင်းအတာအတွင်း တည်ရှိပါသည်။)

ထို့ကြောင့် တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံဖြင့် ရလဒ်မှာ:
$\frac{z_1}{z_2} = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{12}\right) + i \sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right)\right)$

အပိုင်း (၂) - တိုက်ရိုက်စားခြင်း (Direct Calculation) ဖြင့် စစ်ဆေးခြင်း

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{-1 + i}$
ပိုင်းခြေကို ပျောက်စေရန် ပူးတွဲကိန်း (Conjugate) ဖြစ်သော $-1 - i$ ဖြင့် ပိုင်းဝေရော ပိုင်းခြေပါ မြှောက်ပါမည်။
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(1 + \sqrt{3}i)(-1 - i)}{(-1 + i)(-1 - i)}$

၁။ ပိုင်းခြေကို မြှောက်ခြင်း:
$(-1 + i)(-1 - i) = (-1)^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$

၂။ ပိုင်းဝေကို မြှောက်ခြင်း:
$(1 + \sqrt{3}i)(-1 - i) = -1 - i - \sqrt{3}i - \sqrt{3}i^2$
$i^2 = -1$ ဖြစ်သောကြောင့်:
$= -1 - (1 + \sqrt{3})i - \sqrt{3}(-1)$
$= (\sqrt{3} - 1) - (1 + \sqrt{3})i$

၃။ ရလဒ်ကို ပေါင်းစပ်ခြင်း:
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{(\sqrt{3} - 1) - (1 + \sqrt{3})i}{2} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{3} + 1}{2}i$

(မှတ်ချက်။ ။ $\cos\left(-\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ နှင့် $\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right) = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ တန်ဖိုးများကို အပိုင်း ၁ အဖြေတွင် အစားသွင်းလျှင် ဤတိုက်ရိုက်တွက်ချက်မှု ရလဒ်အတိုင်း ထပ်တူရရှိပါသည်။)

အဖြေ: $\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{5\pi}{12}\right) + i \sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right)\right)$ သို့မဟုတ် $\frac{\sqrt{3} - 1}{2} - \frac{\sqrt{3} + 1}{2}i$

==============

Example 9

Example 9

Given that $z = 1 + \sqrt{3}i$, find
(a) $z^{10}$
(b) $z^{-10}$.

တွက်ချက်နည်း အဆင့်ဆင့် (Detailed Solution)

ဒီပုစ္ဆာကို ဒီမွိုင်းဗား သီအိုရမ် (De Moivre's Theorem) ကို အသုံးပြုပြီး လွယ်ကူစွာ တွက်ချက်နိုင်ပါတယ်။ ပထမဦးစွာ $z$ ကို တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံ (Trigonometric form) သို့ ပြောင်းလဲပါမည်။

$z = 1 + \sqrt{3}i$ တွင် $a = 1$, $b = \sqrt{3}$ ဖြစ်သည်။

• မိုဂျူးလပ် (Modulus): $r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
• အာဂူးမန့် (Argument): $\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ ဖြစ်ပြီး $z$ သည် ပထမရပ်ဝန်း (First Quadrant) တွင် ရှိသောကြောင့် $\theta = \frac{\pi}{3}$ ဖြစ်သည်။

ထို့ကြောင့် $z$ ၏ တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံမှာ:
$z = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)$

(a) $z^{10}$ ကို ရှာခြင်း:

De Moivre's Theorem အရ $z^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$ ဖြစ်သောကြောင့်:
$z^{10} = 2^{10} \left(\cos \frac{10\pi}{3} + i \sin \frac{10\pi}{3}\right)$
$2^{10} = 1024$

ထောင့် $\frac{10\pi}{3}$ ကို ပိုမိုရိုးရှင်းအောင် ပြုလုပ်ပါမည်:
$\frac{10\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \pi + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{4\pi}{3}$
ထို့ကြောင့် $\cos \frac{10\pi}{3} = \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ နှင့် $\sin \frac{10\pi}{3} = \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ဖြစ်သည်။

တန်ဖိုးများကို အစားသွင်းပါက:
$z^{10} = 1024 \left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$
$z^{10} = -512 - 512\sqrt{3}i$

(b) $z^{-10}$ ကို ရှာခြင်း:

De Moivre's Theorem အရ:
$z^{-10} = 2^{-10} \left(\cos\left(-\frac{10\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{10\pi}{3}\right)\right)$
$\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ နှင့် $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ ဖြစ်သောကြောင့်:
$z^{-10} = \frac{1}{1024} \left(\cos \frac{10\pi}{3} - i \sin \frac{10\pi}{3}\right)$

အထက်တွင် ရှာဖွေခဲ့သော တန်ဖိုးများကို အစားသွင်းပါက:
$z^{-10} = \frac{1}{1024} \left(-\frac{1}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i\right)$
$z^{-10} = \frac{1}{1024} \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$
$z^{-10} = -\frac{1}{2048} + \frac{\sqrt{3}}{2048}i$

အဖြေ:
(a) $z^{10} = -512 - 512\sqrt{3}i$
(b) $z^{-10} = -\frac{1}{2048} + \frac{\sqrt{3}}{2048}i$

==============

Example 10

Example 10

Find the cube roots of $z = -2 - 2i$.

တွက်ချက်နည်း အဆင့်ဆင့် (Detailed Solution)

ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခု၏ ထပ်ညွှန်းကိန်းရင်းများ (Roots of a Complex Number) ကို ရှာဖွေရန် De Moivre's Theorem ကို အသုံးပြုရပါမည်။ ပထမဦးစွာ $z = -2 - 2i$ ကို တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံ (Trigonometric form) သို့ ပြောင်းလဲပါမည်။

$z = -2 - 2i$ တွင် $a = -2$, $b = -2$ ဖြစ်သည်။

၁။ မိုဂျူးလပ် (Modulus) $r$ ကို ရှာခြင်း:
$r = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

၂။ အာဂူးမန့် (Argument) $\theta$ ကို ရှာခြင်း:
$\tan \theta = \frac{-2}{-2} = 1$
$\tan$ တန်ဖိုး $1$ ဖြစ်သော အခြေခံထောင့်မှာ $\alpha = \frac{\pi}{4}$ ဖြစ်သည်။
$a$ သည် အနုတ်၊ $b$ သည် အနုတ် ဖြစ်သောကြောင့် $z$ သည် တတိယရပ်ဝန်း (Third Quadrant) တွင် ရှိသည်။
$-\pi \lt \theta \leq \pi$ သတ်မှတ်ချက်အရ:
$\theta = \alpha - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$

ထို့ကြောင့် $z$ ၏ တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံမှာ:
$z = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$

၃။ သုံးထပ်ကိန်းရင်း (Cube roots) ကို ရှာခြင်း:
ကုဗရင်း (သုံးထပ်ကိန်းရင်း) ရှာရန် ပုံသေနည်းမှာ $w_k = r^{1/3} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{3} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{3} \right)$ ဖြစ်ပြီး $k = 0, 1, 2$ ဖြစ်သည်။

ဒီနေရာမှာ $r^{1/3} = (8^{1/2})^{1/3} = 8^{1/6} = (2^3)^{1/6} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$ ဖြစ်သည်။

$k = 0$ အတွက် ($w_0$):
$\theta_0 = \frac{-\frac{3\pi}{4} + 0}{3} = -\frac{\pi}{4}$
$w_0 = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1 - i$

$k = 1$ အတွက် ($w_1$):
$\theta_1 = \frac{-\frac{3\pi}{4} + 2\pi}{3} = \frac{\frac{5\pi}{4}}{3} = \frac{5\pi}{12}$
$w_1 = \sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12}\right)$

$k = 2$ အတွက် ($w_2$):
$\theta_2 = \frac{-\frac{3\pi}{4} + 4\pi}{3} = \frac{\frac{13\pi}{4}}{3} = \frac{13\pi}{12}$
$-\pi \lt \theta \leq \pi$ အတိုင်းအတာအတွင်း ရှိစေရန် $2\pi$ နှုတ်ပါမည်:
$\frac{13\pi}{12} - 2\pi = -\frac{11\pi}{12}$
$w_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{11\pi}{12}\right) + i \sin\left(-\frac{11\pi}{12}\right)\right)$

အဖြေ:
$w_0 = 1 - i$
$w_1 = \sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12}\right)$
$w_2 = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{11\pi}{12}\right) + i \sin\left(-\frac{11\pi}{12}\right)\right)$

==============

Example 11

Example 11

Solve $z^6 = 1$.

တွက်ချက်နည်း အဆင့်ဆင့် (Detailed Solution)

ဤပုစ္ဆာသည် $1$ ၏ ၆ ထပ်ကိန်းရင်းများ (6th roots of unity) ကို ရှာခိုင်းခြင်း ဖြစ်သည်။ ကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ၏ ထပ်ညွှန်းကိန်းရင်းများ ရှာဖွေသည့် ဒီမွိုင်းဗား သီအိုရမ် (De Moivre's Theorem) ကို အသုံးပြု၍ တွက်ချက်ပါမည်။

ပထမဦးစွာ ကိန်းစစ် $1$ ကို ကွန်ပလက်စ်ကိန်းပုံစံဖြင့် ဖော်ပြပြီး ၎င်းမှတစ်ဆင့် တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံ (Trigonometric form) သို့ ပြောင်းလဲပါမည်。
$1 = 1 + 0i$

၁။ မိုဂျူးလပ် (Modulus) $r$ ကို ရှာခြင်း:
$r = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$

၂။ အာဂူးမန့် (Argument) $\theta$ ကို ရှာခြင်း:
$\cos \theta = \frac{1}{1} = 1$ နှင့် $\sin \theta = \frac{0}{1} = 0 \implies \theta = 0$

ထို့ကြောင့် $1$ ၏ အထွေထွေ တြီဂိုနိုမေတြီပုံစံမှာ:
$1 = 1 \cdot (\cos(0 + 2k\pi) + i \sin(0 + 2k\pi)) = \cos(2k\pi) + i \sin(2k\pi)$

၃။ ၆ ထပ်ကိန်းရင်း (6th roots) ကို ရှာခြင်း:
$z^6 = \cos(2k\pi) + i \sin(2k\pi)$
$z = \left(\cos(2k\pi) + i \sin(2k\pi)\right)^{1/6}$

De Moivre's Theorem အရ:
$z_k = \cos\left(\frac{2k\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{2k\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{k\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{k\pi}{3}\right)$
ဘယ်နေရာတွင်မဆို $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ (စုစုပေါင်း အဖြေ ၆ ခု) ဖြစ်သည်။

$k = 0$ အတွက် ($z_0$):
$z_0 = \cos 0 + i \sin 0 = 1 + 0i = 1$

$k = 1$ အတွက် ($z_1$):
$z_1 = \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$k = 2$ အတွက် ($z_2$):
$z_2 = \cos\frac{2\pi}{3} + i \sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$k = 3$ အတွက် ($z_3$):
$z_3 = \cos\pi + i \sin\pi = -1 + 0i = -1$

$k = 4$ အတွက် ($z_4$):
$z_4 = \cos\frac{4\pi}{3} + i \sin\frac{4\pi}{3}$
$-\pi \lt \theta \leq \pi$ အတိုင်းအတာအတွင်း ရှိစေရန် $2\pi$ နှုတ်ပါမည်: $\frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$
$z_4 = \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$k = 5$ အတွက် ($z_5$):
$z_5 = \cos\frac{5\pi}{3} + i \sin\frac{5\pi}{3}$
$-\pi \lt \theta \leq \pi$ အတိုင်းအတာအတွင်း ရှိစေရန် $2\pi$ နှုတ်ပါမည်: $\frac{5\pi}{3} - 2\pi = -\frac{\pi}{3}$
$z_5 = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

အဖြေ:
$z = 1, \quad \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad -1, \quad -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i, \quad \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

============== ===============